$n$ tane düzlem bir uzayı en fazla kaç bölgeye ayırır?

Question

$1$ düzlemin uzayı en fazla $2$, $2$ düzlemin $4$, $3$ düzlemin $8$ parçaya ayırdığını bulmak basit. $4$'ten sonra işler karmaşıklaşmaya başlıyor. Örneğin $4$ düzlem bir uzayı en çok $14$ bölgeye ayırabilir. $n$ tane düzlemin bir uzayı en fazla kaç bölgeye ayırdığını veren bir bağıntı yazılabilir mi?

Comments

güzel soru;

Başlangıç olarak şöyle yapabilirsin.

1doğru varken düzlem enfazla 2 ye 

2doğru varken düzlem enfazla 4 e

3doğru varken düzlem enfazla 7ye ayrılıyor

her yeni doğruyu çizerken mümkün olduğunca fazla doğruyu kesmeliyiz her kestiğimiz doğru kadar bölge oluşuyor yani a tane doğru kestik her kestiğimiz doğru kadar bölgemiz daha oldu .

Yani a tane doğru oldugundakı maksımum bolge sayısı K ise  a+1 doğru oldugundakı maxımum bolge sayısı K+a olur.

---

yukarıdakı doğru bölge mantığı ile sanırım düzlem bölge mantığı aynı şeyler mi?

---

uzayı düzlemlere bölceğine ,

bir düzlemi doğrularla bölsen olmazmı? ve sanırım 3 düzlem oldugunda 7 maxımum bolge olur

---

$14$ mu, $15$ mi? Emin miyiz?

---

https://app.geogebra.org/  burada çizmeye calıstımda zor oluyor.

---

$14$ benim hesapladığım. $15$ olma ihtimali de var yani.

---

hem uzay kaç boyutlu olcak? sanıyorum  4 ve 5 boyutta farklı bölmeler uygulanıyor.

---

Bildigimiz uzay ya 3 boyut olan.

Answer 1

Yanıt $C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)$ olmalı. Vakit bulunca bir kanıt yazacağım. Buna göre $4$ düzlem $3$- boyutlu uzayı en çok $15$ alt bölgeye ayırır.