Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
395 kez görüntülendi
f −1 : f fonksiyonun ters görüntüsü.
Lisans Matematik kategorisinde (67 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 395 kez görüntülendi

Sorunun sonundaki ifade $f^{-1}(K) \in $£ olmalı sanırım.

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$K \subseteq Y$ açık bir küme olsun. Amacımız $f^{-1}(Y)$ kümesinin $X$'te açık olduğunu göstermek. 

$K \in €$ olsun. O zaman $Y\setminus K$ kapalıdır yani $Y\setminus K = \overline{ Y\setminus K}$.

$f^{-1}(Y\setminus K) \subseteq X \implies f(\overline{f^{-1}(Y\setminus K}) \subseteq \overline{f(f^{-1}(Y\setminus K)}$ olur varsayımımızdan dolayı. 

$\implies f(\overline{X \setminus f^{-1}(K)})=f(\overline{f^{-1}(Y\setminus K)})  \subseteq \overline{f(f^{-1}(Y\setminus K)}= \overline{Y \setminus K} =Y\setminus K$ 

elde ederiz çünkü biliyoruz ki $K$, € topolojisinin bir elemanı yani açık bir küme, tümleyeni kapalı olduğundan tümleyeni, tümleyeninin kapanışına eşit.

Son eşitlikte $ f(\overline{X \setminus f^{-1}(K)})=Y\setminus K$ her iki tarafa da $f^{-1}$ uygularsak

$\overline{X \setminus f^{-1}(K)} \subseteq f^{-1}(Y\setminus K)=X\setminus f^{-1}(K)$ elde ederiz ki bu $X\setminus f^{-1}(K)$ £ topolojisinde kapalı demektir. O zaman tümleyeni $f^{-1}(K)$ açıktır, $f^{-1}(K) \in$ £.


(477 puan) tarafından 

Teşekkür ederim.

19,699 soru
21,400 cevap
71,871 yorum
224,398 kullanıcı