(X,£), (Y,€) iki topolojik uzay, f : X→Y bir fonksiyon olsun. f X'de sürekli ise her A ⊆ X alt kümesi için( f(A¯) ⊆ f(A)¯ dır. Gösteriniz

Question

A¯ : A'nın kapanışı

f(A)¯ nın kapanışı

Comments

Bu tarz sorulara yaptiklarimizi da eklemeliyiz. Takildigimiz yerleri belirtmeliyiz. 

Answer 1

Şöyle, f, X'de sürekli olsun.

Her x∈A¯ alırsam f(x)∈ f(A)¯ olur.

Devamını getiremedim.

Answer 2

Teorem: $(X,\tau_1),(Y,\tau_2)$ topolojik uzaylar ve $f:X\to Y$ fonksiyon olmak üzere

$$f, (\tau_1\mbox{-}\tau_2) \text{ sürekli}\Leftrightarrow (\forall A\subseteq X)\left(f\left[\overline{A}\right]\subseteq \overline{f[A]}\right)$$

İspat: Önce gerek kısmını ispatlayalım. $f, (\tau_1\mbox{-}\tau_2)$ sürekli ve $A\subseteq X$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} A\subseteq X\Rightarrow \overline{f[A]}\in\mathcal{K}_2 \\ f, (\tau_1\mbox{-}\tau_2) \text{ sürekli} \end{array}\right\}\Rightarrow f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\in \mathcal{K}_1\Rightarrow \overline{f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]}=f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\ldots (1)$

$A\subseteq f^{-1}\left[f[A]\right]\subseteq f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\Rightarrow \overline{A}\subseteq\overline{f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]}\ldots (2)$

$(1),(2)\Rightarrow \overline{A} \subseteq f^{-1}\left[\overline{f[A]}\right]\Rightarrow f\left[\overline{A}\right]\subseteq \overline{f[A]}.$

Yeter kısmını sana bırakıyorum.