Düzgün beşgen ve altın oran

Question

$ABCDE$ bir düzgün beşgen olmak üzere $\frac{|AC|}{|AB|}=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \approx 1,618$ olduğunu ispatlayınız.

Answer 1

$sin54=sin(9+45)=sin9.cos45+sin45.cos9=\dfrac{1}{\sqrt2}[sin9+cos9]$

$sin36=\dfrac{1}{\sqrt2}[sin9-cos9]$  buralarda kalsın



$sin36=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}$


$sin54=\dfrac{b}{a}$


$sin36=\dfrac{\sqrt{a^2-b^2}}{a}=\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1-sin^254}$

dolayısıyla

$sin54=\sqrt{1-sin^236}$ olur .  Peki bize ne lazım?

$\dfrac{|AC|}{|AB|}=\dfrac{2b}{a}$  yani  $2sin54$  lazım ozaman

$sin54=\sqrt{1-sin^236}=\sqrt{1-\dfrac{1}{2}[sin^29+cos^29-2sin9.cos9]}=\sqrt{\dfrac{1}{2}+\dfrac{sin18}{2}}=\dfrac{\sqrt{2+2.sin18}}{2}$

olur şimdi beşgende biraz oynayalım

$sin18=\dfrac{a}{4b}$  olur


$sin54=\dfrac{\sqrt{2+2.\dfrac{a}{4b}}}{2}=\dfrac{b}{a}$  burası düzenlenirse

$8.b^3-4a^2.b-a^3=0$ gelir bunu çözmek için 

http://matkafasi.com/73409/%248y-3-4-x-2-y-x-3-0%24-denklemi-icin-cozum-yontemleri

buraya ,sercan hocanın ipucundan yola çıkıp çözümü ekliyeceğim oyuzden direk sadede gelelim.


$b=\dfrac{\sqrt5.a+1.a}{4}$ gelir


$\dfrac{|AC|}{|AB|}=\dfrac{2b}{a}=\dfrac{\sqrt5+1}{2}$  ispatlanır

Comments

ilk 2 resim anlamak için görsel.

3. resim ana resimdir.

---

Tam anlayamadım bir de kendim çözmeye uğraşayım o zaman anlarım ama bakalım çıkacak mı:)

---

Alternatif cevabı yazdım. Epey uğraşmışsın ama eline emeğine sağlık sayın Anıl :)

---

yarim saat internette araştirdim hic yapilmayan bir ispat yapmak istedim

Answer 2

$|BF|=|AF|=a$ 

$|AB|=|AE|=|EF|=b$ diyelim.

$ABF$ ve $ABE$ üçgenleri benzer olduğundan $\frac{b}{a}=\frac{a+b}{b}$ orantısını elde ederiz. Eğer kapalı denklem olarak yazarsak $a^2+ab-b^2=0$ denklemini elde ederiz. Bu denklemin çözümünde $a$'nın $b$ cinsinden ifadesi $a=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}b$ olur. Fakat $\frac{-1 - \sqrt{5}}{2}$ ifadesi negatif olduğundan $a=\frac{-1+ \sqrt{5}}{2}b$ olur. Bu durumda $|EB|=a+b=(1+\frac{-1+ \sqrt{5}}{2})b=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}b$ olur. O halde $\frac{|EB|}{|AE|}=\frac{\frac{1+ \sqrt{5}}{2}b}{b}=\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\approx1,618$ olur.

Answer 3

Sonuç. Duzgun besgenin kosegenleri cizildiginde olusan tum ucgenler Altin ucgendir. Bakiniz Altin ucgen