$x, y$ pozitif reel sayilari icin $x^y+y^x>1$

Question

$x, y$ pozitif reel sayilar olsun. $x^y+y^x>1$ oldugunu gosteriniz.

Comments

Bernoulli ile rahatlıkla çıkıyor ama elimde tlf var yapan çıkar ama çıkmassa gece atarım

---

 göz önüne alırsak  $x$ ve  $y$ sayıları $(0,1)$ aralığında pozitif reel sayılarsa  bu durumda Bernoulli çalışmıyor , farklı bir yöntemle bulacağız sanırım :-)  

Answer 1

eşitsizliğin 1 den büyük sayılar için sağlandığı aşikar, x,y (0,1) için kanıtlayalım

$x^{1-y}=(1+x-1)^{1-y}\le1+(x-1)(1-y)=x+y-xy$ bernoulli ile, buradan $\frac{x}{x^y}\le x+y-xy$ buda $$x^y\geq\frac{x}{x+y-xy}$$ benzer şekilde $$y^x\geq\frac{y}{x+y-xy}$$ taraf taraf toplayarak, $$x^y+y^x\geq\frac{x+y}{x+y-xy}\geq\frac{x+y}{x+y}=1$$

Comments

evet $y$ yerine $1-y$ alınınca $(0,1)$ aralığında kalıyor , burnunun ucunu  göremeyince göremiyor insan :-))