$f:(-∞,2) → [1,∞), f(x)= x^2-4x+5$ olduğuna göre,ters fonksiyon olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonu nedir?

Question

$f:(-\infty,2) →  [1,\infty), f(x)= x^2-4x+5$ olduğuna göre ters fonksiyon olan $f^{-1}(x)$ fonksiyonu nedir?

Comments

arkadaşım şu dolar işaretini koyuversene:)

---

koyuyorum ama

Answer 1

$f(x)=x^2-4x+4+1$ şeklinde yaz ve


$f(x)=(x-2)^2+1$ olur 

$\sqrt{f(x)-1}=x-2$ olur


$\sqrt{f(x)-1}+2=x$ bulunur.

Comments

cevap=2- kök x-1

---

$f^{-1}(x)=\sqrt{x-1}+2$ cevap budur eger degılse muhtemelen soruda birşeyler eksık verılmış. çözümü tekrar inceledim istersen sende ıncele.

Answer 2

$$f(x)=x^2-4x+5$$  kuralı ile verilen $$f:(-\infty,2)\to [1,\infty)$$ fonksiyonu örten olmadığı için tersi yoktur. Fakat fonksiyonun tanım kümesini $$(-\infty,2)$$ yerine $$(-\infty,2]$$ alırsanız bu durumda fonksiyon örten olacaktır. Birebir olduğunu görmek zor değil. Şimdi $$f(x)=x^2-4x+5$$  kuralı ile verilen $$f:(-\infty,2]\to [1,\infty)$$ fonksiyonunun tersini arayabiliriz.

$$y=x^2-4x+5$$

$$\Rightarrow$$

$$y=(x-2)^2+1$$

$$\Rightarrow$$

$$y-1=(x-2)^2$$

$$\overset{y\in [1,\infty)}{\Rightarrow}$$

$$\sqrt{y-1}=|x-2|$$

$$\overset{x\in (-\infty,2]}{\Rightarrow}$$

$$\sqrt{y-1}=2-x$$

$$\Rightarrow$$

$$x=2-\sqrt{y-1}$$

olduğundan

$$f(x)=x^2-4x+5$$ kuralı ile verilen $$f:(-\infty,2]\to [1,\infty)$$ fonksiyonunun tersi

$$f^{-1}(x)=2-\sqrt{x-1}$$ kuralı ile verilen $$f^{-1}:[1,\infty)\to (-\infty,2]$$ fonksiyonudur.