Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
327 kez görüntülendi

(X,£) ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlasın. Bu durumda £'nın sayılabilir bir € tabanı vardır. O halde €*=£dir.

Sorunun ispatı elimde var ancak birkaç adımında takıldım. Ayrıntılı anlaşılır şekilde yardımcı olursanız sevinirim. Şimdiden teşekkürler.

Lisans Matematik kategorisinde (67 puan) tarafından  | 327 kez görüntülendi

İspatın neresinde takıldın?

Olmayan ergi yöntemini kullanacağız. € sayılabilir bir taban olsun. 
1. adım; Eğer A ∩ A˜ = ∅  olsaydı , her x ∈ A için (Tx \ {x}) ∩ A = ∅ olacak şekilde x noktasını içeren bir  Tx ∈ £ var olacaktı.
2. adım; € taban olduğundan, Bx ∩ A = x olacak şekilde bir  Tx ⊂ Bx ∈ €  vardır.
3. adım; Böylece x → Bx dönüşümü A'dan € içine birebir olurdu. 
4. adım; Bu durum € sayılabilir olduğundan, A'nın da sayılabilir olmasını gerektirirdi. 
5. adım; Bu çelişki olamayacağından A ∩ A˜ = ∅ olmalıdır. 

2.adım ve sonrası.

1 cevap

1 beğenilme 0 beğenilmeme

1.Adımdaki $T_x$ açık küme, $x\in T_x$ ve € bir baz olduğu için $x\in B_x,\ B_x\subset T_x$ olacak şekilde bir $B_x\in €$ vardır. $T_x\cap A=\{x\}$ olduğu için $B_x\cap A=\{x\}$ olur.

$A\to$ € $x\mapsto B_x$ fonksiyonunu düşünelim. $x\neq y$ iken ($B_x\cap A=\{x\}\neq \{y\}=B_y\cap A$ olduğundan) $B_x\neq B_y$ olur. Bu nedenle bire-birdir.

(6.1k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

3.adımda da şunu diyor aslında $\displaystyle \bigcup_{x \in A} {B_x} = A$

20,200 soru
21,728 cevap
73,275 yorum
1,887,894 kullanıcı