(X,£) ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlayan bir uzay, A, X'in sayılamayan bir alt kümesi ise A'nın yığılma noktalarından en az biri A'ya aittir. Gösteriniz.

Question

(X,£) ikinci sayılabilme aksiyomunu sağlasın. Bu durumda £'nın sayılabilir bir € tabanı vardır. O halde €*=£dir.

Sorunun ispatı elimde var ancak birkaç adımında takıldım. Ayrıntılı anlaşılır şekilde yardımcı olursanız sevinirim. Şimdiden teşekkürler.

Comments

İspatın neresinde takıldın?

---

Olmayan ergi yöntemini kullanacağız. € sayılabilir bir taban olsun. 

1. adım; Eğer A ∩ A˜ = ∅  olsaydı , her x ∈ A için (Tx \ {x}) ∩ A = ∅ olacak şekilde x noktasını içeren bir  Tx ∈ £ var olacaktı.

2. adım; € taban olduğundan, Bx ∩ A = x olacak şekilde bir  Tx ⊂ Bx ∈ €  vardır.

3. adım; Böylece x → Bx dönüşümü A'dan € içine birebir olurdu. 

4. adım; Bu durum € sayılabilir olduğundan, A'nın da sayılabilir olmasını gerektirirdi. 

5. adım; Bu çelişki olamayacağından A ∩ A˜ = ∅ olmalıdır. 

2.adım ve sonrası.

Answer 1

1.Adımdaki $T_x$ açık küme, $x\in T_x$ ve € bir baz olduğu için $x\in B_x,\ B_x\subset T_x$ olacak şekilde bir $B_x\in €$ vardır. $T_x\cap A=\{x\}$ olduğu için $B_x\cap A=\{x\}$ olur.

$A\to$ € $x\mapsto B_x$ fonksiyonunu düşünelim. $x\neq y$ iken ($B_x\cap A=\{x\}\neq \{y\}=B_y\cap A$ olduğundan) $B_x\neq B_y$ olur. Bu nedenle bire-birdir.

Comments

3.adımda da şunu diyor aslında $\displaystyle \bigcup_{x \in A} {B_x} = A$