$x \cdot y$ maksimum çarpımı

Question

Aşağıdaki sorunun çözümünü, YGS düzeyinde nasıl çözebiliriz?

$y=f(x)$ olarak çekip, $\dfrac{df(x)}{dx}=0$ ile çözmek uzun zaman aldı.

Sonra Lagrange Çarpanı yöntemiyle de çözdüm soruyu, ama YGS'ye göre ağır gelir.

Soru:

$x,y$ pozitif reel sayılar olmak üzere

$3x^2 +2xy +12y^2 =21$ olduğuna göre $x \cdot y$'nin maksimum değeri kaçtır?

Comments

$x.\frac{dy}{dx}$ nin maximum degerımı yoksa sadece $x.y$ nin mi?

---

Sadece $x \cdot y$ maksimum değeri

---

http://matkafasi.com/71466/egriler-arasi-dikey-mesafe-ile-ilgili-kalkulus-sorusu    buradaki cevap ve yorumlar iş görür
x.y yi yanlız bırakalım ve


$xy=A(x,y)=\dfrac{21-12y^2-3x^2}{2}$

---

sonra hem x değişkenine göre hemde y değişkenine göre teker teker türev alıp 0 a eşitliyoruz sanırım.Mantığı bende tam oturmadığı için yazamıyorum.

---

Peki elips denklemimizde $xy$ çarpımı olmasaydı? Yani $3x^2+12y^2=21$ olsaydı?

---

ikimizinde kafası karışmasın diye bu konu hakkında çalışıp çözecegim sayın funky. 

Answer 1

$3x^2+2xy+12y^2=(\sqrt3\,x-2\sqrt3\,y)^2+14xy=21$ den

$xy=\frac{21-(\sqrt3\,x-2\sqrt3\,y)^2}{14}$ olur. 

Elips üzerinde $\sqrt3\,x-2\sqrt3\,y=0$ (yani $x=2y$) olacak şekilde en az bir nokta vardır (kontrol etmesi kolay)

Öyleyse $xy$ en çok $\frac{21}{14}=\frac32$ olur.

Comments

Çözümünüzü varsayımla yapmışsınız, anlamadım.

Ayrıca yukarıda yazdığım gibi;

"Peki elips denklemimizde $xy$ çarpımı olmasaydı? Yani $3x^2+12y^2=21$ olsaydı?"

---

Hangi varsayımı yaptığımı anlamadım.

---

$x=2y$ nereden çıktı?

Diğer sorumu da yanıtlar mısınız?

---

O bir varsayım değil, gerekli bir kontrol.

$\sqrt3\,x-2\sqrt3\,y$ nin 0 değerini alıp almadığını kontrol etmeliyiz. Aksi halde, sadece, $xy$ nin maksimum değeri "en çok $\frac32$ dir" diyebiliriz.

O işlem, $xy$ nin gerçekten de $\frac32$ değerini aldığını gösteriyor.

Diğer soruyu da aynı fikirle çözebilirsin.

Answer 2

YGS düzeyine göre başka bir çözüm:

$A.O.\geq G.O.$ olduğundan $\frac{3x^2+2xy+12y^2}{3} \geq ^\sqrt[3]{3x^2.2xy.12y^2}$ olmalıdır. $3x^2+2xy+12y^2=21$ olduğundan $7 \geq 2xy\sqrt[3]{9}$ olur. Bu durumda $xy \leq \frac{7\sqrt[3]{3}}{6}$ olmalıdır.