$G/Z(G)$ döngüselse $G$ değişmeli midir?

Question

$G$ grup, $Z(G)$, grubun merkezi

Comments

Soruyu şöyle genişletmek mümkün: $H\subseteq Z(G)$ olacak şekilde $G$ nin bir altgrubu olsun. $G/H$ devirli ise $G$ değişmeli midir?

Answer 1

$G/Z(G)=<x>$ diyelim. $G$'nin elemanlari $zx^i$ formunda olmali, oyle ki $z \in Z(G)$, $i \in \mathbb Z$.

Simdi $a=z_1x^i, b=z_2x^j \in G$ olsun, oyleyse $$ab=(z_1x^i)(z_2x^j)=z_1z_2x^{i+j}=z_2x^jz_1x^i=ba$$ olur. ($z_1,z_2 \in Z(G)$ oldugundan ortalikta cilgincana gezinebildiler.)

Comments

$x$ değil $\overline{x}$ almalısın.

---

Haklisin. Bazi matematikciler (kimlerse) kullanmiyor ust cizgiyi, anlasiliyor diye. Bende de aliskanlik oldu kullanmamak.

---

İyi tanımlı olup olmama durumuna göre değişiyor o. Bir kümeden bir eleman seçip o elemana göre küme içintanım/işlem vs yapıyorsun. Tanımın/işlemin vs'nin seçtiğin elemandan bağımsız olması gerekiyor çoğu zaman yaptığının anlamlı olması için. Yani kesinlikle yapılmaması gereken bir şey kanımca.