\alpha, sifir ile bir arasinda bir sayiyken \alpha x + (1-\alpha)y sayisi hakkinda ne soyleyebiliriz? Bunu inceleyelim:
Diyelim ki x<y olsun. Bu durumda \alpha x + (1 - \alpha)y> \alpha x + (1 - \alpha)x = (\alpha + 1- \alpha )x = x olur. Ote yandan \alpha x + (1 - \alpha) y < \alpha y + (1-\alpha) y = (\alpha + 1 - \alpha) y = y olur.
Sunu gostermis olduk: \alpha x + (1-\alpha)y sayisi y'den kucuk, x'ten buyukmus.
Simdi \alpha'yi 0'dan 1'e kadar degistirirsek, x ile y arasindaki butun sayilari bulabilecegimizi gormemiz lazim.
Bunu sureklilik argumani kullanarak soyleyebilirsin. Ya da direkt hesaplayabilirsin.
Sunu gostermis olduk:
\{\alpha x + (1-\alpha) y : \alpha \in [0,1]\} kumesi x ile y'yi baglayan dogru parcasidir.
Ayni sekilde \{\alpha f(x) + (1- \alpha) y : \alpha \in [0,1] \} de f(x) ile f(y) arasindaki dogru parcasi.
Cok uzun okumadim diyenler icin: Konveksligin tanimi sana x ile y arasindaki dogru parcasinin goruntusu ile, f(x) ile f(y) arasindaki dogrunun goruntusunu karsilastiriyor.