Question

Sürekli olmayan bir lineer fonksiyon örneği verin.

Comments

$$f(x)=x$$ kuralı ile verilen $$f:(\mathbb{R},\{\emptyset,\mathbb{R}\})\to (\mathbb{R},\mathcal{P}(\mathbb{R}))$$ lineer fakat sürekli değil.

---

Biraz daha sengin örnekler daha iyi olur aslında. Mesela iki taraf da Banach uzayı olsa falan. Zira bu yanıt, sorunun değinmek istediği noktayı epey bir kaçırıyor.

---

$C^1[-1,1]$ gibi ornekler mi?

---

@Sercan sonlu boyutlu bir ornek verebilir misin ki?

---

Normlu uzaydan normlu uzaya mi?

---

$\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$. (Oklid normuyla).

---

Ben bunu "olmayan bir lineer fonksiyon örneği verin ve bunu sürekli, hiç durmadan yapın" diye okuyorum birkaç gündür.

Answer 1

$C[0,1]$ vektör uzayında $\left\|f\right\|=\int_0^1|f(x)|\,dx$ bir norm tanımlar.

$T:C[0,1]\to\mathbb{R},\quad Tf=f(0)$ (0 yerine herhangi bir sayı da olabilir) lineer fakat (bu normun tanımladığı topolojiye göre) süreksizdir.

İspatı:

$f_n(x)=\begin{cases}1-nx & 0\leq x\leq\frac1n\\0&\frac1n\leq x\leq1\end{cases}$ olsun.

$\int_0^1|f_n(x)|\,dx=\frac1{2n}$ olur ve $f_n\to0$ (0: sabit 0 fonksiyonu) ama $Tf_n=f_n(0)=1\nrightarrow T0=0$

($\lim\limits_{n\to\infty} Tf_n\neq T(\lim\limits_{n\to\infty} f_n)$ )

($V$ ve $W$ sonlu boyutlu ise (herhangi bir norma göre, her lineer dönüşüm sürekli olur. O nedenle sonsuz boyutlu uzay kullanmak zorundayız)

Comments

Şöyle de olabilir:

$V$ sonsuz boyutlu bir vektör uzayı olsun. $V$ üzerinde denk olmayan iki norm vardır (https://math.stackexchange.com/questions/936145/if-any-two-norms-on-a-vector-space-are-equivalent-then-the-space-is-finite-dimen )

Bu normların ürettiği (tanımladığı) farklı  topolojilere $\tau$ ve $\tau'$ diyelim.

$1_V:V\to V$ özdeşlik dönüşümü lineerdir ve ($\tau-\tau'$ veya $\tau'-\tau$ topolojilerinden en az birine göre)  süreksizdir.

Answer 2

$\oplus_{i >0}\mathbb{R}$ uzayi üzerinde sup normu alalim ve $e_i$ ile $i$'inci koordinati $1$ gerisi sıfır olan vektörü gosterelim. $e_i \longmapsto ie_i$ biçiminde tanımlanan lineer operatör sınırlı olmayacagi için sürekli değildir.

Comments

$\oplus_{i >0}\mathbb{R}$ un tamamında $\sup$ normu tanımlı olmaz.

Oradaki sınırlı diziler alt uzayını ($\ell^\infty$ deniyor) düşünmeliyiz.

---

Hocam, direkt toplam dediğimizde sonlu sayıda koordinat sıfırdan farkli olduğu için sup norm tanımlı olmuyor mu? Kartezyen çarpım olsa sup sonlu olmayabilecegi için sup norm tanımsiz oluyor, bunu görebiliyorum. Ama direkt toplamda neden tanımlı olmuyor, açıkçası göremiyorum.

---

Haklısı  Sercan, benim hatam. O örnek de oluyor.

---

Yine Cuma günkü gibi saçmaladım sanıp tedirgin oldum hocam. Bir de ben Şafak hocam :))

---

Bende de pazartesi sendromu var galiba!

---

Yanlislikla da olsa bana bir hak verilmis :)