Question

Kubun donme grubu nasil bir grup, kac elemanli? Bu elemanlar nasil elde ediliyor?

Comments

Kubun icine bir tetrahedron yerlestir. Tetrahedronun koseleri kubun koseleriyle cakisacak sekilde.

Tetrahedronun koselerinin permutasyonlari, kubun kosegenlerinin permutasyonlari demek oluyor. Tetrahedronun koselerinin permutasyonlari da $Sym(4)$.

---

Tetrahedron un (3 boyutlu) uzayda mümkün olan simetri grubu $S_4$ değil sanırım. 

Bir köşeyi sabit bırakanları düşünürsek diğer köşeleri sadece döndürebiliriz, yansıtamayız.

---

Dogrudur. O yuzden permutasyon kelimesini kullanmistim. Pek iyi bir aciklama olmadigini kabul ediyorum.

---

https://www.youtube.com/watch?v=gBg4-lJ19Gg

2-boyutta karenin dönme ve yansıma grubu($D_4$) gibi düşünebiliriz, ancak küpte 6 yüz var; dolayısıyla 48 elemanlı bir grup. Tabi bunların bağıntılarını vermek sanırım çok kolay değil. Ancak bu bağıntılarda elde edilmiş. Grupta bütün yansımalar alındığında ve bu yansımalara karşılık gelen yansıma düzlemlerinden yararlandığımızda $\Bbb{R}^{3}$'ü parçalara ayırırız(Weyl chamber). Herbir chamber 3 duvara sahiptir. Herhangi bir chamber ve chamberın duvarlarına ilişkin 3 yansımayı seçtiğimizde ;

$<s_1,s_2,s_3\mid s_{1}^2=s_{2}^2=s_{3}^2=(s_1s_3)^2=(s_1s_3)^3=(s_2s_3)^4=1>$ bağıntıları bulunmakta.

Not: Vakit bulabilirsen $D_4$ için Weyl chamberına bakabilirsin.

---

@Handan Dogan Donmez'in dedigi gibi: Bu 48 tane simetrinin hepsi uc boyutlu uzayda mumkun degil.

Eger $SO(3 , \mathbb{R})$'nin altgrubu olarak goruyorsak kubun simetri grubu 24 elemanli, eger $SL(2, \mathbb{C})$'nin altgrubu olarak goruyorsak 48 elemanli. Ikincisini birincisinin iki elemanli bir grupla yaricarpimi olarak gormek mumkun. Buradaki derecesi iki olan eleman da uc boyutlu uzayda mumkun olmayan bir yansima olarak alinabilir.