Sonlu bir grup ve Sylow-P altgrubunun temsilleri

Question

$G$ sonlu bir grup olsun öyle ki $|G|=p^{n}.m$, $p$ asal ve $m$ bir pozitif tamsayı. Bu $G$ grubu ve onun bir $Sylow-p$ $altgrubunun$ temsilleri arasında nasıl bir ilişki vardır?

Comments

nasil bir iliski isteniyor? soruyu geri bastan sormus gibi oluyorum ama bana soru net gelmedi pek.

---

Bu konu hakkinda yeni yeni birseyler ogreniyorum ve uzerine dusunmek istiyorum..acaba sorulan sey sylow teoremleriyle mi ilgili yoksa g grubu ve sylow-p altgruplari icin grup takdimi uzerine mi oldugunu idrak edemedim ? 

---

@Sercan,

Örnek olarak bu temsiller eş temsiller mi gibi ilişkileri merak ediyorum.

@Merve Kaya, 

Sorduğum şey Sylow teoremlerinden çok bir G grubu ve onun Sylow-p altgruplarının takdimi üzerine.

---

<p> Sylow grupları birbirleriyle eşlenik oldukları için temsilleri birbirine denktir.
</p>

---

Soru bu değil ki? G'nin temsilleri ile G'nin bir Sylow altgrubunun temsilleri arasindaki ilişki nedir?

Res, Ind funktorlari var arada evet ama bunlar denklik verir mi bu durumda?

Answer 1

Bu guzel bir soru.  Bir G grubu icin S bir p-Sylow altgrubu olsun. G nin temsilleri (diyelim kompleks sayilar uzerine olsun) uzerinde G nin linear olarak etkisi olan kompleks vector uzayidir. Bu etkiyi G'nin herhangi bir altgrubana indirgeyebilirsiniz. Bu size kisitlama (restriction) dedigimiz islemi verir. Yani G nin temsileri S'ye kisitlanabilinir. Burada sorabilecegimiz soru su S'nin hangi temsilleri G'nin bir temsilinin kisitlamasidir? Oncelikle G'nin temsilleri, G'nin icinde eslenik (conjugate) elemenlarda ayni karakter degerlerine sahip olmali. Dolayisi ile G'nin bir temsili S'ye kisitlandigi zaman onun karakteri S'nin icinde G'ye gore eslenik elemanlarda da ayni degere sahip olmali. Yani sadece S'ye gore eslenik olmak degil, G'ye gore de eslenik olmayi dikkate almaliyiz. Bunu biraz fuzyon sistemleri denen bir yapi ile aciklamak mumkun ama tam da degil. S nin icinde G'nin elemanlari ile elde edilen conjugation'lara fuzyon diyoruz ve S'nin degil de bu yapinin temsil teorisinden bahsetmek gerek belki de. 

Bir ornek ile aciklamaya calisayim. G=S_3 (3 eleman uzerine simetri grubu) grubuna bak. Bu grubun temsilerini yazinca iki tane bir boyutlu, bir tane iki boyutlu basit temsili oldugunu goreceksin. Bu temsilleri C_3 algrubuna indirdiginde bir trivial bir de iki boyutlu temsil bulacaksin. Iki boyutlu temsil C_3 grubunun iki trivial olmayan bir boyutlu temsillerinin toplami. Yani birin ucuncu koku ile carpma temsiline w dersek, bulacagin temsil w+w^2. Indirgeme ile C_3'un basit temsillerini elde edemiyorsun ama fuzyon altinda degismeyen temsilini elde ediyorsun. Burada S_3 grubun C_3 Sylow 3-altgrubu uzerinde fuzyonu (12) ile conjugation ile elde edilen (123)-->(132) yani x--> x^{-1} seklinde ifade edebilecegimiz fuzyon yapisi. Bu fuzyon w temsilini w^2'ye goturuyor.  

Biz Sune P. Reeh ile son yazdigimiz makalede Fuzyon sistemlerinin temsil halkalarini tanimladik ve bunlarin boyut fonksiyonlari icin bazi teoremler ispatladik. Biraz daha teknik konular var orada ama istersen arxiv'den benin adimi girip bu makaleye bakabilirsin.

Comments

Ergun hocam şu an anlamadığım noktalar var, biraz zaman alacak cevabı tamamen anlamam. Şimdilik bir sorum var, "Oncelikle G'nin temsilleri, G'nin icinde eslenik (conjugate) elemenlarda ayni karakter degerlerine sahip olmali. Dolayisi ile G'nin bir temsili S'ye kisitlandigi zaman onun karakteri S'nin icinde G'ye gore eslenik elemanlarda da ayni degere sahip olmali" derken bu S grubunun G'de karakteristik altgrup olmasını mı söylüyorsunuz?

---

Soylemek istedigim su: Eger $G$ sonlu bir grup, $\chi$'da onun bir karakteri ise $\chi$ karakterinin degeri eslenik elemanlarda ayni olmali. Yani butun $x, g \in G$ icin $\chi (gxg^{-1})=\chi (x)$ esitligi saglanmali. Simdi $\chi$ karaketerini $S$ diye bir altgruba indirgerseniz o zaman $x$ ve $gxg^{-1}$ elemanlari $S$'nin icinde iken, $\chi (x)=\chi (gxg^{-1})$ esitligi hala saglanmali. Yani $Res^G _S  \chi$ karakteri $S$ grubunun herhangi bir karakteri degil, $S$'nin icinde $G$'ye gore eslenik elemanlarda ayni degeri veren bir karakter. Bunlara $G$-invariant karakter yada $G$'nin fuzyonunu dikkate alan (respects fusion in $G$) karakterler deniyor. Bunlarin karakter teorisi $S$ nin icinde $G$'ye gore esleniklik siniflari goz onune alinarak yapiliyor. $S$ Sylow alt grubu iken $S$ nin herhangi bir karakterinden baslayip, bir $G$-invariant karakter veren bir insaat (construction) var, karakteristik ikili kumeler kullanilarak yapiliyor bu esleme. 

---

Teşekkürler hocam, biraz daha çalışayım ben.

Answer 2

Bu soruyla pek alakasi yok ama yine de Sylow altgruplarinin (moduler) temsil teorisinde asagidaki gibi ilginc bir yeri oldugu icin buraya yazmak istedim.

Oncelikle ben cok fazla temsil teorisi diline hakim degilim. O yuzden su degisiklikleri yapacagim: $k$ bir cisim olmak uzere $G$ grubunun $k$-temsilleri kategorisi ile ($kG$ grup halkasi/cebiri olmak uzere) sol $kG$-modullerin kategorisini esleyip, $G$'nin bir temsili dedigimde bir (sol) $kG$-modul kastedecegim.

$M$ bir $kG$-modul olsun. Eger $M$'yi sifirdan (ve $M$'den) farkli altmodullerin direkt toplami seklinde yazmak mumkun degilse $M$'ye ayristirilamaz (indecomposable) diyelim. Yani, $M$'ye ayristiralamaz diyoruz ancak ve ancak $M = M_1 \oplus M_2 \implies M_1 = 0$ ya da $M_2 = 0$ ise. 

Simdi eger sonlu sayida ayristirilamaz modul (daha dogrusu sonlu sayida ayristirilamaz modul izomorfizma sinifi) var ise "$KG$'nin temsil tipi sonludur" diyelim (finite representation type). Eger sonlu degil ise iki secenek var: evcil (tame) ve vahsi (wild). Evcil tipli demek ayristirilamaz moduller en azindan guzel bir siniflandirmaya sahip demek. Vahsi demek ise gercekten vahsi demek, siniflandiramiyorsun bile.

Tamam. Simdi $k$ sonlu bir cisim olsun, $k = \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$ mesela.

Teorem: $kG$'nin temsil tipinin sonlu olmasi icin gerek ve yeter kosul $G$'nin $p$-Sylow altgrubunun dongusel (cyclic) olmasidir. Eger bu altgrup dongusel degil ise $kG$ evcil bile olamaz, vahsi olmak zorundadir. 

Teoremi kime ithaf edecegimi bulamadim. Sanirim Higman, 1954.