Büzüşebilir olmak noktaya yamultulabilmeyi gerektirir mi?

Question

Büzeşebilir: Contractible

Yamultulabilme: Deformation retract (TMD sözlüğündeki çeviri şu: deforme çekme)

Answer 1

Evet. Büzüşebilir olması (bir $x_0\in X$ için) $H(x,0)=x,\ \ \ H(x,1)=x_0$ olacak şekilde bir $H:X\times I\rightarrow X$ homotopisinin var olması demek olduğuna göre, aynı homotopi, $(A=\{x_0\} $ olmak üzere) $r:X\rightarrow A,\ r(x)=x_0$ "yamultma"sı  (retraction) ile özdeşlik arasında bir homotopidir. Başka bir noktaya da "yamultabiliriz", bunun için, baştaki homotopideki, $x_0$ noktasını herhangi bir $x_1$ noktası ile değiştirmeliyiz. Bunu, şöyle yapabiliriz: $G(x,t)=\begin{cases} H(x,2t)\qquad\quad  t\leq\frac12\\ H(x_1, 2-2t)\quad t\geq\frac12\end{cases}$, bu yeni homotopi, $X $ i, $x_1$ e büzer.

Safak Ozden in uyarısı ile şunu eklemeliyiz:

"Deformation retract" in birden çok versiyonu var. Bu cevap "deformation retract" tanımında "$A$ nın noktalarının  zaman içinde hep $A$ da kalması varsayımı yok" ise geçerli. Tanımda, "$A$ nın noktalarının  zaman içinde hep $A$ da kalması varsayımı " veya benzer koşul varsa Safak Ozden in örneğindeki gibi yanlış oluyor.

Comments

Hocam bu galiba yanlış.

---

Hocam bu dogru degil galiba. Bir $X$ uzayinin $x$ noktasina yamultulabilmesi icin her $U\in Nb(x)$ icin $$V\hookrightarrow U$$ fonksiyonu nullhomotopic olan $V\in Nb(x)$ olmasi gerekiyor. Simdi $X$ uzayı birim karenin diagonal altında kalan kısımda $x$ ekseni rasyonel alan noktalar kümesi olsun. Açıkça $$X=\{(x,y)\in[0,1]\times[0,1]:\text{$y=0$ veya $x\in\mathbb{Q};x\leq y$}\}$$

Bu tarak büzüşebilir ama her noktaya yamultulamaz. Çünkü alınan bir nokta tarağın eksenler üzerinde kalan kısmında değilse, yeterince ufak her komşuluğu bağlantısız parçaların birleşiminden oluşuyor. Şimdi bu tarakları yanyana koyarak elde edilen şu şekle bakalım (bu Hatcher'ın verdiği örnek) http://i.stack.imgur.com/uBKgT.jpg. Zigzak çizen noktalar tek tarakğın yamultulabildiği noktalar. Ama şimdi dış taraflarından onlara da paralel çizgiler yaklaştığı için büyük kümede kendisine yamultulabilir nokta olmuyorlar. Haliyle bu kümenin yamultulabildiği bir nokta yok. Öte yandan büzüştürülebilir.

---

Şafak, sanıyorum, bu farklılık, ikimizin (ve Hatcher in)" yamultulabilme" tanımındaki  bir farktan kaynaklanıyor. Hatcher in kullandığı tanımda bir de $A$ nın noktalarının sabit (veya bazan sadece $A$ da) kalması koşulu var,  benim kullandığım/varsaydığım terminolojide, bu koşul olmadan tanım yapılıyor. Bu koşul ($A$ nın noktalarını sabit kalması)  da eklenirse, ona (benim kullandığım/varsaydığım terminolojide) "strong deformation retract" deniyor. Benim kurduğum homotopide, $A$ nın noktaları ("zaman içinde") sabit (hatta $A$ da bile) kalmıyor. Senin verdiğin örnekte bu çok güzel görülebilir. Benim yazdığım homotopide önce herşeyi  $x$-eksenine, sonra o noktanın $x$-eksenine izdüşümüne, son olarak da o noktaya deforme edebiliriz, bu sırada o nokta elbette sabit kalmıyor. 

---

Anladım hocam, sağolun.