Polinomda işlem-Bir sonsuz polinomun çarpma işlemine göre tersi.

Question

$a(x)$ sonsuza giden bir polinom olsun;
 
$a(x)=1+x+x^2+x^3+x^4+........+x^n+........... $

$a(x)$ 'in çarpmaya göre tersi nedir.

Comments

Nerede tersi? $\frac1{a(x)}$ denebilir mesela?

---

aynen ama çarpmaya göre tersi başka neler varki aralarından birini söylemeliyim?

---

Ters ne demek ilk olarak? Bunu dusunelim. Ters demek icin bir ikili islem yapisi lazim. 

Once birim eleman olacak, daha sonra da ters elemani bulacagiz. 

Fakat nerede calistigimiz onemli. Nerede bu elemanlar.

$\mathbb R[[x]]$ mi?  $\mathbb R((x))$ mi? vs...

---

Burada bu kuvvete serisinin yakınsaklık yarıçapı pozitif mi noktası da göz önüne alınmalı.

Eğer bu koşul yoksa, katsayıları HERHANGİ bir cisimden alabiliriz ve bu durumda  "Biçimsel (Formel) Kuvvet serisi" denir. (soru tamamen cebirsel olur ve)

http://nesinkoyleri.org/e-kutuphane/ders-notlari/analiz_2.pdf

de incelenmiştir ve bu sorunun yanıtı da Sayfa 310 da Teorem 22.1 de verilmiştir.

 (Katsayılar  $\mathbb{C}$ cisminde (veya başka bir normlu cisim) iken  "Biçimsel olmayan" (yakınsaklık yarıçapı pozitif)  kuvvet serileri için de sorulabilir ama cevap  aynı kitapta biraz ileride var.

---

sayın @DoganDonmez
teşekkürler ama zaten oradan aldım hocam . başkalarıda çözsün ve sağlam bir arşiv oluşsun diye paylaştım.

sayın @Sercan hocam yukardaki a(x) polinomunu (1-x) ile çarptığımızda 1 buluyorsak bunu nasıl birim ve tersinir eleman tanımlarını verebiliriz bunu yazarmısınız .teşekkürler

---

Soruyu soran sensin ve bunun sebebini soran da benim. Soru bana nasil dondu su an anlamadim? 

Ben sorunun cevabini (az cok) biliyorum. Yani Ali hocanin kitabindan analiz olarak bilmesem de Introduction to Commutative Algebra - Atiyah kitabinda da var.

Olay su: sen sordugun soruyu ne kadar biliyorsun? 

Ali hocanin kitabina baktim simdi, epey sayfasi var ve Dogan hoca da 310 dedigine gore, daha oncesinden epey anlatilmis konu var. Hepsi bu soruyla alakali olmasa da bir kaci bunun icin bir ilerleme yapmistir.

Ben tanimci birisiyim, zaten oyle olmamiz gerkiyor (galiba), Dogan hocam daha iyi bilir.

O nedenle tanimlari nedir? Dogan hocanin yorumunda verdigi ornekler gibi, ne kastediliyor. Ilk olarak bunu tartisalim.

Ayrica neden $1-x$ ile carpiyoruz bunu? Kat sayilarin hepsi $1$ olsa $(1+x+\cdots+x^n)(1-x)=1-x^{n+1}$ olur da, burada katsayilar degisken... ve biz nerede degistigini, tanimlari verilmedigi icin, bilmiyoruz. 

---

ben kitaptan değil vidyodan gördüm ama vidyoda kitapdan çıkmış dolayısıyla kitaptan almış gibi oldum,tanım aralığı reel olsun bir önemi olmayacak çünki 1-x ile çarpıldıgında xli ifadelerin hepsi yok olucak (sonsuz polinomlarda).

çok kasıcak birşey olduğunu sanmamıştım çünki tanımsızlık yok ve $\mathbb{C}$ de çalışsak bile gene aynı sonuç çıkacaktır. siz sonlu polinom için diyorsunuz benimki sonsuza uzanan .

---

Yine aynini diyorum. Sorudaki $$1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdot$$ degil $$a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots.$$ Her $\mathbb R[[x]]$ kumesindeki tersinir elemanlarin teri $1-x$ degil.

---

ya bu a'ları nasıl yazarım haklısınız affola bugün 2dir salaklığım tuttu. şimdi bakın.

---

analiz 2 ye çalıştığım vakit katsayıları olan polinomların terslerinide buluruz.tekrar özür diliyorum bugün böyle oldu.

---

sercan sakin.  

---

Foton'u sevdiğimden takılıyorum ;)

---

teşekkürler hocam:) ama "matematik bir şiirdir fizikçilerde şair".