Karakteristik 2'de Kuadratik Formlar

Question

$\def\ZZ{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}$ Baslikta karakteristik 2 dedim ama aslinda sadece en basit durum ile $\ZZ$ ile ilgileniyorum.

$H$ bir $\ZZ$ uzerinde sonlu boyutlu bir vektoruzayi olsun. $H$'nin uzerinde her $\alpha \in H$ icin $\alpha \cdot \alpha = 0$ olacak sekilde bir bilineer form bulunsun.

Eger bir $q: H \to \ZZ$ fonksiyonu, her $\alpha, \beta \in H$ icin $$q(\alpha + \beta) = q(\alpha) + q(\beta) + \alpha \cdot \beta$$ ozelligini sagliyorsa $q$'ya $(H, \cdot)$ uzerinde bir kuadratik form diyelim. 

Soru: En azindan bir kuadratik form oldugunu gosteriniz.

Baktigim her yerde bir kuadratik formdan bilineer form nasil cikarilir o gosteriliyor. Tersini nasil yapacagimi bilemiyorum karakteristik 2'de.

http://matkafasi.com/24945/ linkinde de bir seyler var ama iste ilgilendigimiz seyin, butun kuadratik (karesel) formlarin kumesinin bos kume olmadigini nasil goruyoruz?

Comments

"$1 \in \mathbb F_2 \subset H$ ve $1 \cdot 1 \ne 0$. Hem bu karakteristige de aykiri." Derdim ama $\mathbb F_2 \subset H$ olmak zorunda degil.

Answer 1

Tamam. Buldum:

Lemma 1: Her $a, b \in H$ icin $a \cdot b = b \cdot a$.

Kanit: $(a+b) \cdot (a+b)$'i bilineerlikle acip, sifira esit oldugunu kullan. Kanit bitti. 

Simdi $H$ icin bir taban sec: $\{e_1, \ldots, e_n\}$. 

Lemma 2: $a = a_1 e_1 + \ldots + a_n e_n$ ve $b = b_1 e_1 + \ldots b_n e_n$ olsun. Bu durumda $$a \cdot b = \sum_{i <j} (a_i b_j + a_j b_i)e_i \cdot e_j$$ olur.

Kanit: $$a \cdot b = \sum_{i,j} a_i b_j e_i \cdot e_j$$ oldugu bilineerlik kullanilarak gosterilebilir kolaylikla. Lemma 1'i ve $e_i \cdot e_i = 0$ oldugu gercegini kullanarak kanit biter.

Bu iki gozlemi yaptiktan sonra is kolaylasiyor. Eger karakteristik 2'de olmasaydik ve bilineer formumuz $\alpha \cdot \alpha = 0$ ozelligini saglamiyor olsaydi, kuadratik formumuzu $\alpha \cdot \alpha$ formuluyle verebilirdik. Peki bizi engelleyen sey tam olarak ne?

Lemma 2'yi inceledigimiz zaman $$a \cdot a = \sum_{i <j} 2 a_ia_j e_i \cdot e_j$$ oldugunu goruyoruz. Oradaki 2, karakteristik 2'de oldugumuz icin her seyi sifir yapiyor. O zaman, o 2'yi kaldiralim ortadan. 

$q$'yu soyle tanimlayalim:

$$q(a) = \sum_{i<j} a_i a_j e_i \cdot e_j$$

Simdi bunun bir kuadratik form oldugunu gostermek kolay.

Comments

$n$-boyutlu $F_2$-vektor uzayinda dejenere olmayan kac tane quadratik form vardir? Cift boyutlu uzaylarda iki tip var ve Arf degismezi belirliyor hangi tip olacagini. Mesela iki boyutlu uzayda ya $xy$ yada $x^2+xy+y^2$ olabiliyor.  Yani $(a,b)\in F_2 ^2 $ icin $q(a,b)=ab$ yada $q(a,b)=a^2+ab+b^2$ oluyor. Birinci durumda sadece $(1,1)$ icin $q(a,b)$ sifirdan farkli. Ikinci durumda $(0,0)$ haric butun vektorlerde $q(a,b)$ sifirdan farkli. Arf(q) soyle tanimlaniyor. Eger vektor uzayindaki vektorlerlerin yarisindan fazlasi icin $q(a,b)=1$ ise $Arf(q)=1$ oluyor, yoksa $Arf(q)=0$ oluyor. O yuzden Arf invaryantina demokratik invaryant deniyor. 

---

Bu Arf invaryantina giden yoldaki ilk soruydu. Daha sonraki sorulari çözdük, hakikaten demokratikmis.