Logaritma fonksiyonunun kurallarının ispatları

Question

$_\star$$\star$$^\star$  Kullanılıcak Temel Kural  $^\star$$\star$$_\star$

$a^x=b$     ise     $log_ab=x$       ;

----------------------------------------------------------
Toplam,Çarpım;

$\star$     $log_ab+log_ac=log_a(b.c)$

      $log_ab-log_ac=log_a(\frac{b}{c})$
.....................................
Taban ve iç özellikleri ;

$\star$$\star$    $log_ab^x=x.log_ab$

       $log_{a^x}b=\frac{1}{x}.log_ab$

.....................................
Taban değiştirme;

$\star$$\star$$\star$   $log_ab=\frac{log_xb}{log_xa}$

.....................................
Üslü özelik;

$\star$$\star$$\star$$\star$   $a^{log_ab}=b^{log_aa}=b$

bu özellikleri ispatlayalım ,ispatlıyacağımız özelliğin yıldızını koyup öyle yapalım ,örnek: 2. örnek için $\star\star$ yazıp sonra ispat yazalım.

Comments

Uslu sayilarin her ozelligini kullanmak da serbest herhalde.

---

aynen sebest 

Answer 1

$log_ab^x=t$ olsun.

 bu durumda

 $a^t=b^x$ elde edilir.

her iki tarafın $x.$ mertebeden kökünü alırsak 

$a^{\frac{t}{x}}=b \Rightarrow log_ab=\frac{t}{x} \Rightarrow t=xlog_ab$ elde edilir.

benzer şekilde $log_{a^{x}}b=k$ olsun. 

bu durumda 

$( a^x)^k=b \Rightarrow (a^k)^x=b$ elde edilir.

her iki tarafın $x.$ mertebeden kökü alınırsa 

$a^k=b^{\frac{1}{x}} \Rightarrow  log_ab^{\frac{1}{x}}=k$

 burdan da üstteki ispat gereği

 $ log_ab^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}log_ab=k \Rightarrow log_{a^{x}}b=  \frac{1}{x}log_ab $ elde edilir.

Answer 2

$log_ab=x, log_ac=y$ olsun. 

bu durumda $b=a^x , c=a^y$ olur.

bu iki eşitlik taraf tarafa çarpılırsa 

$bc=a^{x+y} \Rightarrow log_abc=x+y \Rightarrow log_abc=log_ab+log_ac$ elde edilir.

benzer şekilde taraf tarafa bölünürse

 $\frac{b}{c}=a^{x-y} \Rightarrow log_a.(\frac{b}{c})=x-y \Rightarrow log_a(\frac{b}{c})=log_ab-log_ac$ elde edilir.

Answer 3

..çok emin olmamakla birlikte..

$log_ab=k \Rightarrow a^k=b$ bu eşitliği sağlayan $x^y=a^k=b$ şeklinde $x^y $ var olsun (en kötü ihtimalle x=b ve y=1 var zaten.)

 $x^y=a^k=b \Rightarrow y=log_xa^k=log_xb \Rightarrow klog_xa=log_xb \Rightarrow k=\frac{log_xb}{log_xa} \Rightarrow log_ab=\frac{log_xb}{log_xa}$ elde edilir.