Zorn Önsavı'na Giriş

Question

İmkansız Bir Problem

  Gerçel sayılar kümesi $\mathbb{R}$ 'nin maksimal bir sonlu altkümesini bulmaya çalışalım. Yani gerçel sayılardan oluşan öyle bir sonlu küme bulmaya çalışacağız ki, bu kümeden daha fazla gerçel sayı içeren hiçbir gerçel sayı kümesi sonlu olamasın... 

Kaynak: http://www.acikders.org.tr/course/view.php?id=26

Benim sorum:  Gerçel sayılar kümesi $\mathbb{R}$ 'nin maksimal bir sonlu altkümesi ne demek? Ne demek istediğini anlayabiliyorum. Ama sezgilerime dünyevi düşünemiyorum, resmini çizemiyorum? Bu problemi daha açık bir şekilde açıklyabilir misiniz? Hatta bu problemi $\mathbb{Q}$ 'da ve $\mathbb{Z}$ 'de uygulayabilir miyiz?

Comments

Istenilen ozelligi saglayan ve istenilen ozelligi saglayan baska bir kume tarafindan icerilmeyen denmek isteniyor. 

Answer 1

$S$ kumesi $\mathbb{R}$'nin bir altkumesi olsun. $S$'nin maksimal sonlu bir altkume olmasi demek su demek:

• $S$ sonlu bir altkume.
• $S \subsetneq T$ olacak sekilde bir $T$ kumesi alirsak $T$ sonlu olamaz.

Diyelim ki $S$ boyle bir altkume olsun. $S$ sonlu oldugu icin, $\mathbb{R}$'ye esit degildir. Dolayisiyla $x \in \mathbb{R} \setminus S$ olacak sekilde bir $x$ reel sayisi vardir. $S$ sonlu oldugu icin $S \cup \{x\}$ kumesi de sonludur ve bu iki kume arasinda $S \subsetneq S \cup \{x\}$ iliskisi vardir. Bu da $S$'nin maksimal olmasiyla celisir. Yani $\mathbb{R}$'nin maksimal sonlu bir altkumesi olamaz. Ayni sekilde $\mathbb{Q}$'nun da boyle bir altkumesi olamaz. Zaten bu yuzden problem imkansiz bir problem olarak nitelenmis.

Zorn Onsavi burada calismiyor. Neden?

Comments

Zorn Önsavı "Bir $(X,\preceq)$ posetindeki her zincir bir üst sınıra sahipse $X$ kümesi bir maksimal elemana sahiptir" diyordu. Demek ki $(X,\preceq)$ posetindeki her zincir bir üst sınıra sahip değil.

---

$\mathbb{R}$ 'nin maksimal bir sonlu altkümesi bulamadık ki $\mathbb{Q}$ 'n da böyle bir altkümesi olsun.