Aynı integralin 2 veya daha fazla farklı cevabı olabilirmi nasıl mümkün?

Question

İlgili link linik

Comments

Belirli integral bir deger iken belirsiz integral bir fonksiyon oldugu icin belirsiz integralin cevabi cesitli gelebilir lakin belirli integralin sonucu sabittir sonucta alan hesabi..yorum olarak yazdim bunu matematiksel ifade eden de cikacaktir..onemli olan belirsiz integralin sonuclarinin turevlerinin ayni olmasi..

---

Belirli integral bir deger iken belirsiz integral bir fonksiyon oldugu icin belirsiz integralin cevabi cesitli gelebilir lakin belirli integralin sonucu sabittir sonucta alan hesabi..yorum olarak yazdim bunu matematiksel ifade eden de cikacaktir..onemli olan belirsiz integralin sonuclarinin turevlerinin ayni olmasi..

Anaaa cevap varmis ya :) bakmadan yazmistim sercan hocam vermis verilmesi gereken cevabi :)

---

$x^2+3x+5$ ile $x^2+3x+5412$ in türevleri gayettabi eşit ama direkt olarak herhangi tam sayı katmadan 

$\frac{-1}{2sin^2x}$  ve   $\frac{-cot^2x}{2}$  türevinin aynı gelmesi çok ilginç. Dikkat ederseniz herhangi bir c eklemedende bu 2 ifade birbirine eşit oluyor çok garip değilmi sırf bu soru için bile;

$\frac{-1}{2sin^2x}=\frac{-cot^2x}{2}$   eşitliğini yazabiliriz burdanda saçma birşekilde $cos^2x=1$ 

geliyor:) neyse teşekkürler , iyi çalışmalar

Answer 1

Evet. $g(x)-f(x)$ sabit bir sayiysa integrali $f(x)+c$ ya da $g(x)+d$ bulabiliriz.

Ornegin:
$\sin^2 x+\cos^2 x=1$ oldugundan $\sin^2 x$ yerine $-\cos^2 x$ de yazilabilir.
$\sec^2-\tan^2 x=1$  oldugundan $\sec^2 x$ yerine $\tan^2 x$ de yazilabilir.

Baska bir ornek:

$$\int\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}dx$$Yontem 1:$e^x$ ile carpip bolun ve $e^x=u$ diyerek isleme devam edin.

Yontem 2: payi ve paydayi $e^{x/2}$ parantezine alip bunlari sadelestirin ve $e^{x/2}+e^{-x/2}=u$ diyerek isleme devam edin. 

Bence cok sasirmaniz gerekir.

Comments

Hocam bayağı etkileyici bir dejavu oldum veya bu tarz bir çözümünüzü daha önce gördüm.Cevabınız için teşekkürler.

---

genel bir tanım diyecegim ama böyle bir şey mümkün görükmüyor gibi ,

---

Bunun yanitini sercan'in baska bir sorusunun altinda da konusmustuk sanirim. sasiracak bir sey yok zira sonucta bulunan iki fonksiyonun aralarindaki fark bir sabit, hatta $1$.

---

anladım ama genede garip geliyor teşekkürler.

---

Olaya tek yonlu bakarsak sasirmayiz elbet. Arada sabit bir fark olacak, bu kisim kesin. Fakat alakasiz gibi gozuken iki fonksiyonun arasinda sabit bir fark olmasi sasirtabilir. Arada hic integral almadigimizi dusunursek ve bu fonksiyonlar arasinda sabit bir fark oldugunu bize birisi soylese sasirabilecegimiz bir fonksiyon cifti olabilir. Tabi bu sasirma esigine ve kisiye gore degisir. 

Answer 2

ek örnekler vermek istiyorum;

1) $\displaystyle\int2sinx.cosx.dx=\displaystyle\int2u.du$

$u^2+C_1=sin^2x+C_1$             $u=sinx$

2) $\displaystyle\int2sinx.cosx.dx=\displaystyle\int(-2u)du$

$-u^2+C_2=-cos^2x+C_2$            $u=cosx$

3) $\displaystyle\int2sinx.cosx.dx=\displaystyle\int sin2x.dx$

$-\dfrac{cos2x}{2}+C_3$          

  ve

$\star---------------------------------\star$

$u=tanx$ dönüşümü yapılırsa

$\displaystyle\int sec^2x.tanx.dx=\displaystyle\int u.du=\dfrac{u^2}{2}+C=\dfrac{tan^2x}{2}+C_1$

$u=secx$ dönüşümü yapılırsa

$\displaystyle\int sec^2x.tanx.dx=\displaystyle\int u.du=\dfrac{u^2}{2}+C=\dfrac{sec^2x}{2}+C_2$

Answer 3

Teorem:Türevleri aynı olan fonksiyonların arasındaki fark sabittir.

Bir $(a,b)$  aralığının her $x$ noktasında $f'(x)=g'(x)$  ise öyle bir $C$ sabit sayısı vardır ki her  $x\in\;(a,b)$  $f(x)=g(x)+C$  dir.

Yani, $f-g$  farkı  $(a,b)$  üzerinde sabittir.

İspat:

Her $x\in\;(a,b)$ noktasında, $h=f-g$ fark fonksiyonunun türevi

$h'(x)=f'(x)-g'(x)=0$  olur.

Dolayısıyla http://matkafasi.com/81449/ispatlayalim-araliginin-noktasinda-mathbb-forall-mathbb 'e  göre  $(a,b)$ üzerinde $h(x)=C(\in \mathbb R)$ 'dir.

Böylece $(a,b)$ üzerinde $f(x)-g(x)=C$  'dir, dolayısıyla $f(x)=g(x)+C$ bulunur.