Question

$y^2=8x^4+1$  $Diafont$  $denkleminin$ $mevcutsa$   $tamsayı $  $ çözumlerini$   $bulunuz$

Comments

dizinin ilk bolumunun linkini de ekleseydin :)

---

Sercan hocam ekleyeceğim  , şu an kurgu aşamasındayım  :-) Battlestar  Galactica -;)

---

 Diafont denklem

$$y^2-8x^2=1$$

şeklinde verilseydi $8$ kare sayı olmadığından (yanlış hatırlamıyorsam) sonsuz çözüm çıkıyordu.

---

Hocam yorumlardanda anlaşılacağı gibi bizim dizi oldukça heycanlı :-) , sizin senaryoda zevkli duruyor  ancak yapımcı ile konuşmak lazım :-)) , vakit bulunca bulduğum çözümleri yazacağım , senaryoyu doğru yanlış masaya yatırırız

Answer 1

verilen ifade $u=2x^2$ yazılarak pell denklemine dönüştürülür $$y^2-2u^2=1$$ pell diofanten denkleminin ilkel olmayan ilk çözümü (3,2) dir denklem y için her halikarda tam sayı çözümler verecektir x için tam sayı verip vermediğine bakalım yukarıdaki denklemin u için genel çözümü 

$$u=\frac{(3+2\sqrt2)^n-(3-2\sqrt2)^n}{2\sqrt2}$$ dir bu ifade n nin tek değerleri için sonuç vermiyor (işlem hatası yapmış olabilirim) çift değerleri için ise genel bir durum söz konusu değil

Comments

doğru , bu durumda $(-1,3), (1,3) , (-1, -3) , (1,-3), (0,1) , (0,-1)$ başka çözüm yok gibi doğru mu?

---

kesin bir şey diyemiyorum, çünkü n=2k için sağlamadığını gösteremedim 

Answer 2

Çözüm için buraya  bakılabilir.

Answer 3

The American Mathematical Monthly, Vol. 97, No. 2 (Feb., 1990), pp. 120-124 "The Square Pyramid Puzzle" adlı makaledeki lemma 3'te $y^2=8x^4+1$ denkleminin tek pozitif tamsayı çözümünün $x=1$ olduğu kanıtlanmış. Bunun için  lemma 1 ve lemma 2 den faydalanılmış:

Lemma 1:   Bir pisagor üçgeninin alanı tamkare olamaz.

Lemma 2:  $2x^4+1$ tamkare olacak şekilde $x$ pozitif tamsayısı mevcut değildir.

Ayrıca L.J.Mordel'in Diophantine equation adlı kitabı sayfa 270 de şöyle bir teorem varmış:

$D\gt 0$ kare bir sayı omamak üzere $y^2=Dx^4+1$ denklemi pozitif tamsayılarda en çok $2$ çözüme sahiptir.