Question

$\mathbb{Z}$ kümesini $\mathbb{Q}$ kümesine gömmek demek ne demek?

Comments

her tam sayıyı rasyonel olarak ifade edebildigimizden $\mathbb{Z}\subset$$\mathbb{Q}$ denilir gömmekten kasıt bu sanırım. Bir alt halka .

---

Özdeşlik fonksiyonuyla $\mathbb{Z}$'yi $\mathbb{Q}$'nun içinde görebiliyoruz. Bu fonksiyona gömme fonksiyonu denir.

Answer 1

Gömme'nin özel bir anlamı var matematikte. Topolojide, geometride, cebirde vs kullanılan bir tabirdir. Eğer $A$ ve $B$ iki tane benzer özelliklere sahip objeler ise (ikisi de grup, ikisi de halka, ikisi de manifold, ikisi de lie grubu, vs) $A$ objesi $B$ objesinin içine gömülebilir demek $A$'dan $B$'ye giden birebir bir homomorfizma var demektir. Bir anlamda bu, $A$ objesinin bir kopyası $B$ objesinin içinde yaşar demektir. Burada dikkat edilmesi gereken şey, gömmenin hangi yapıya referans verdiğidir.

Örnek:

• $\mathbb{Z}$ birimli halkası $\mathbb{Q}$ birimli halkasının içine tek türlü gömülebilir. Çünkü $1$ elemanı $1$ elemanına gitmek zorunda ve dolayısıyla böyle bir tane gömme var.
• $\mathbb{Z}$ grubu $\mathbb{Q}$ grubunun içine gömülebilir. Bir önceki örnekte fonksiyon bize $\mathbb{Z}$ grubunun $\mathbb{Q}$ grubunun içene bir gömmesini verir. Ama bu durumda birden fazla gömme vardır. Herhangi bir $q\in\mathbb{Q}$ elemanı için $$n\longmapsto q\cdot n;\qquad \forall n\in\mathbb{Z}$$ fonksiyonu tamsayılar değişmeli grubunun rasyonel sayılar değişmeli grubunun içine bir gömmesini tarif eder.
• Alışkın olduğumuz toplolojisiyle beraber $\mathbb{R}$  uzayı çarpım topolojisiyle $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ içine pek çok biçimde gömülebilir. Mesela $$x\longmapsto(x,x^3)$$ fonksiyonu böyle bir gömmedir. 

Answer 2

Tanım: $f:X\to Y$, $y=f(x)$ fonksiyon olmak üzere $f[X]$ görüntü kümesinden $Y$ hedef kümesine her elemanı kendisine gönderen $i$ fonksiyonuna $f$ fonksiyonuna ilişkin gömme (içerilme) fonksiyonu denir. Formel olarak

$$(f:X\to Y, y=f(x))(f[X]=\{f(x)|x\in X\})$$

$$:\Rightarrow$$

$$i, f\text{'ye ilişkin gömme (içerilme) fonksiyonu}:\Leftrightarrow i:f[X]\to Y, i(x)=x$$

şeklinde yazabiliriz.

Comments

Halka homomorfizmasinin da saglanmasi gerekmez mi? Ben sorudan bunu anliyorum. Bir halkayi diger bir halkaya (ozel olarak cisime) gomuyoruz. Bunlar basi bos kumeler degil, halka yapisini saglayan kumeler. (Soruda bundan bahsedilmemis ama...)

---

Evet haklısın. Toplamaya ve çarpmaya saygı duyacak ve hatta sıralı halka ise sıraya da saygı duyacak.