ispatım
http://matkafasi.com/67909/zincir-kurali-ispati-ezber-bozuyoruz-1
dan
daha kolay ve tanımsızlık şüphesi bırakmayacak şekilde tasarlamağa çalışılmıştır.
amacımız $u'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$ olduğunu ispatlamak
yani $\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}$ göstermek....
------------------------------------------------------------------------------------------
$u(x)=f(x).g(x)$ olarak tanımlansın.
$\triangle f(x)=f(x +\triangle x)-f(x)$ $\Longrightarrow$ $f(x +\triangle x)=\triangle f(x)+f(x)$
$\triangle g(x)=g(x +\triangle x)-g(x)$ $\Longrightarrow$ $g(x +\triangle x)=\triangle g(x)+g(x)$
$u(x)=f(x).g(x)$
$x$ yerine $x+\triangle x$ yazalım.
$u(x+\triangle x)=f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)$
------------------------------------------------------------------------------------------
$\triangle u(x)=u(x+\triangle x)-u(x)$
$\triangle u(x)=f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)-f(x).g(x)$
$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}$ olarak yazarsak yerlerine yazalım
$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{f(x+\triangle x).g(x+\triangle x)-f(x).g(x)}{\triangle x}$
yukardaki eşitliklerden $g(x+\triangle x)$ ve $f(x+\triangle x)$ leri yerlerine koyalım.
$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{[\triangle f(x)+f(x)].[\triangle g(x)+g(x)]-f(x).g(x)}{\triangle x}$
dağıtmaları yapalım.....
$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)+\triangle f(x).g(x)+\triangle g(x).f(x)+\underbrace{f(x).g(x)-f(x).g(x)}_0}{\triangle x}$
kalanları düzenlersek
$\star$ $\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}=\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}$
$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}=f'(x).g(x)$ demektir.
$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}=g'(x).f(x)$ demektir.
$\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}$ ne demek bilmiyoruz
burdan sonra tek birşey kaldı o da
$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}$ nun ne olduğunu göstermek...
$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x)}{\triangle x}.\triangle g(x)=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)$
hangisini alırsanız alın ben
$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)$ üstünden göstermek istiyorum,bu ifadeyi düzenlersek
$\triangle f(x)=f(x +\triangle x)-f(x)$ 'u kullanarak
$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\triangle f(x)=lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.\underbrace{lim_{\triangle x \rightarrow 0}(f(x +\triangle x)-f(x))}_0$
dolayısıyla
$lim_{\triangle x \rightarrow 0}\dfrac{\triangle g(x)}{\triangle x}.0=0$ olucaktır.
$\star$ $\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle u}{\triangle x}$
$=$
$u'(x)=\underbrace{\lim_{\triangle x\rightarrow 0}\dfrac{\triangle f(x).\triangle g(x)}{\triangle x}}_0+\dfrac{\triangle f(x).g(x)}{\triangle x}+\dfrac{\triangle g(x).f(x)}{\triangle x}$
yukarıda da açıkca belirtildiği üzre
$u'(x)=f'(x).g(x)+f(x).g'(x)$ ispatlanır $\Box$