Zincir Kuralı İspatı-Ezber bozuyoruz-1-

Question

tüTürev kurallarından olan  "Zincir Kuralı" nı ispatlayalım;

$\zeta(z)=u(g(z))$  olsun

İspatlayalım $\zeta'(z)=u'(g(z)).g'(z)$

Comments

Bu biraz uzun surebilir.

Answer 1

Şöyle bir ispatı var:

$y = f (u),\ y + \Delta  y = f (u + \Delta u),\ u = g (x)$ ve $u + \Delta  u = g (x + \Delta  x)$ alalım. Burada

$x$ ve $x + \Delta  x$, $g$ nin tanım kümesinde, $u$ ve $u + \Delta u,\ f$ nin tanım kümesindedir. $y = f (g (x))$ bileşik fonksiyonun $x$ de türevini araştırıyoruz. $g,\ x$ de türevlenebilir olduğundan $x$ de süreklidir, aynı nedenle $f$ de $u$ da süreklidir. Bu nedenle,

$$ \lim_{\Delta x\to 0} \Delta  u = 0 $$

olur. $\Delta  u = 0$ ise $y + \Delta  y = f (u + \Delta u)$

eşitliğinden $\Delta y = 0$ dır. Türev tanımından

$$ \lim_{\Delta u\to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u) $$

olur. Şimdi aşağıdaki gibi $\Delta u$ bağımsız değişkenli bir

$h(\Delta u) $ fonksiyonu tanımlayalım:

$$ h \left( {\Delta u} \right)=\begin{cases} \frac{\Delta y}{\Delta u}&\Delta u\ne 0\ \textrm{ise} \\ f'(u) & \Delta u=0\  \textrm{ise}  \\ \end{cases} $$

$\lim_{\Delta u\to 0}  h  ( \Delta  u ) =\lim_{\Delta u\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta u} = f'(u) = h (0)$ olduğundan, $ h $ fonksiyonu  0 da süreklidir. Yukarıdaki eşitlikten

$\Delta y$ yi çözersek

$$ \Delta  y =  h  (\Delta  u) \Delta  u ,\quad (\Delta u \neq  0 \textrm{ ise}) $$

buluruz. Son eşitlik, ($\Delta u = 0$ iken $\Delta y = 0$ olduğundan) $\Delta u = 0$ olsa bile geçerlidir.  O halde,

 $\Delta x\neq 0$ iken

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=h \left( {\Delta u} \right)\frac{\Delta u}{\Delta x}$$

yazılır. ($h,\ 0$ a sürekli olduğundan)  ${\lim_{\Delta x\to 0}h(\Delta u)=h(0)=f'(u)}$ olur ve

$$\frac{dy}{dx}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'\left( u \right)\frac{du}{dx}$$

veya

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=f'\left( u\right)\cdot g'\left( x \right)$$

bulunur.

Answer 2

Şöyle güzel bir şey buldum. Buraya koyuyorum ki bir daha calculus dersi verirken böyle anlatmayı hatırlayayım.

Answer 3

$f(g(x))=\zeta(x)$  olsun


$f'(g(x)).g'(x)=\zeta'(x)$  olduğunu ispatlayalım.


$\triangle f(x)=f[g(x)+\triangle g(x)]-f[g(x)]$


$\triangle g(x)=g(x+\triangle x)-g(x)$



$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\dfrac{\triangle f(x)}{\triangle x}$ istenen sonucu vericektir şöyle düzenlersek


$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle x}=\frac{\triangle f(x)}{\triangle x}.\frac{\triangle g(x)}{\triangle g(x)}=\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle g(x)}.\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle g(x)}{\triangle x}$  olur

Tek tek hesaplayıp yerine koyalım;
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\underbrace{\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle g(x)}}=\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{f[g(x)+\triangle g(x)]-f[g(x)]}{g(x+\triangle x)-g(x)}$  paydaki $\triangle g(x)$ düzenlersek;

$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{f[g(x)+g(x+\triangle x)-g(x)]-f[g(x)]}{g(x+\triangle x)-g(x)}=\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{f[g(x+\triangle x)]-f[g(x)]}{g(x+\triangle x)-g(x)}$  , görüldüğü üzre türev'in limit tanımından

$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle g(x)}=\frac{df(x)}{d[g(x)]}$  $\longrightarrow$  $u=g(x)$ ve   $f(x)=y$ denilirse 

$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle g(x)}=\frac{dy}{du}$   yani,

$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle g(x)}=f'(g(x))$  bulunur.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
$\underbrace{\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle g(x)}{\triangle x}}=\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{g(x+\triangle x)-g(x)}{\triangle x}$  türevin limit tanımından;

ve $u=g(x)$  dönüşümünden;

$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle g(x)}{\triangle x}=\frac{du}{dx}$  yani,

$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle g(x)}{\triangle x}=g'(x)$  bulunur.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle g(x)}.\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle g(x)}{\triangle x}$


yukarda bulduklarımızı yerlerine yazarsak,




$\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle f(x)}{\triangle g(x)}.\lim_{_{\triangle x\rightarrow 0}}\frac{\triangle g(x)}{\triangle x}=\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}=[f(g(x))]'=\frac{dy}{dx}=f'(g(x)).g'(x)$ ispatlanır.

Comments

Bu ispatta  $\Delta g(x)$ in 0 olmayacağı varsayımı yok mu?

---

kesinlikle var ama limit içinde kullandığım için $\triangle x$ hep 0ın çok yakınında ama hiç eşit olmayacak limitte kullanmama rağmen genede $\triangle g(x)\neq 0$ demeli miyim?

---

$g(x)\neq 0$ desem daha iyi olmaz mı sayın hocam?

---

$g(x)=\begin{cases}x^2\sin\frac1x\ x\neq0\\0\quad x=0\end{cases}$  durumunda $\Delta g(x)$ (0 yakınında her aralıkta 0 değeri aldığı noktalar var. 

Bu sorunun aşmanın (en az) iki yolu var:

1. $g'(x)=0$ ve $g'(x)\neq0$ durumlarında ayrı ayrı ispat yapmak
2. Tamamen farklı  bir şekilde ispatlamak

---

şimdilik birşey yapamıyorum hocam elimden bu geldi ilerleyen zamanlarda düşündükçe eklerım buraya. tamamen farklı bir ispat için ipucu verirseniz onuda yazmağa çalışırım.saygılar.