Limit kafama takılan

Question

$0^{\infty}$ belirsizliğinin mantığı nedir, kısaca açıklar mısınız

Comments

ilk olarak: Belirsizlik mi bu?

---

fasikülden çalışıyorum ''0 sonsuz biçimindeki belirsizlikler'' diye başlık var soruları sanırım L'Hospital'dan çözülüyor

---

Sorum $0^\infty$ bir belirsizlik mi? Mesela $\frac00$ ya da $1^\infty$ belirsizlik. Peki $0^\infty$?

---

bende size soruyorum hocam bilemedim işte :)) şimdi baktımda sanırım öyle bir belirsizlik yok 

---

Ispatini yaptim. Anlamazsan sorun degil. Sadece belirsizlik olmadigini ve sifira esit oldugunu bilmen yeterli.

---

Basligi: "$0^\infty$ belirsizligi" gibi soruyu belirten bir baslik secebilir misin?

Answer 1

$h(x)=f(x)^{g(x)}$  olsun, oyle ki $$\lim\limits_{x \to a} f(x)=0 \text{ ve } \lim\limits_{x \to a} g(x)=\infty$$ olsun. Bu durumda $$\lim\limits_{x \to a} h(x)=0$$ olur.

Ispat:

Verilenlerden elde edebileceklerimiz: 

Eger $\epsilon_f=\frac12>0$ secersek oyle bir $\delta_f>0$ degeri vardir ki $$0<|x-a|<\delta_f$$ esitsizligi saglandiginda $$|f(x)|<\frac12$$ olur.

Verilen $M_g>0$ icin oyle bir  $\delta_g>0$ vardir ki $$0 <|x-a|<\delta_g$$ esitsizligi saglandiginda  $|g(x)|>M_g$ olur.

Ispatimiza gecersek: 

Verilen $\epsilon>0$ icin (uygun bir $M_g>0$ pozitif sayisi vardir ki $\epsilon>\left(\frac1{2}\right)^{M_g}$ esitsizligi saglanir*) $\delta=\min\{\delta_f,\delta_g\}>0$ secersek $$0<|x-a|<\delta$$ esitsizligi saglandiginda $$|f(x)^{g(x)}-0|<\left(\frac12\right)^{M_g}<\epsilon$$ olur.

Bu da bize  $$\lim\limits_{x \to a} h(x)=0$$ oldugunu verir.

*: Aslinda bu kisim icinde bir $\epsilon-\delta$ ispati daha yapilabilir ama bu kisim ispatladigimiza nazaran daha basit.

Comments

Hocam vallahi kusura bakmayın anlamaya kafam pek el vermedi, ama emeğe saygı +1'inizi verdim birde belirsizlik olmayıp 0'a eşit olduğunu öğrendim bu kadarı yeterli, teşekkürler:)

Answer 2

$\varepsilon-\delta$ sız (bazı teoremler kabul ederek) çözüm:(burada ve diğer tüm çözümlerde elbette, $a$ yakınlarında $f(x)>0$ kabul ediliyor)

$h(x)=f(x)^{g(x)}$ ve $\lim\limits_{x \to a} f(x)=0 \text{ ve } \lim\limits_{x \to a} g(x)=+\infty$ olsun.

($\lim\limits_{x \to a} g(x)=-\infty$ durumu farklıdır.)

$\ln h(x)=g(x)\ln(f(x))$ olur.  $\lim\limits_{t \to 0^+} \ln t=-\infty$ olduğu için

$\lim_{x\to a}g(x)\ln(f(x))=(+\infty)(-\infty)=-\infty$ olur.

(Burada belirisizlik olmadığı için $0^\infty$ bir belirsizlik değildir.)

$h(x)=f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}$ olduğu için

$\displaystyle\lim_{x\to a}h(x)=\lim_{x\to a}e^{g(x)\ln f(x)}=\lim_{t\to -\infty}e^t=0$ olur.

Comments

Daha anlasilir olmus, kesinlikle.