Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
1 beğenilme 0 beğenilmeme
21.4k kez görüntülendi
Merhabalar. Benim sorum başlıkta da belirttiğim gibi limitle ilgili. Direk görsel koyuyorum.

image

Bu tanımda $\epsilon$ ve $\delta$'nın anlam ve önemini anlayamadım. Bu koşulların sağlanması neden limitin varlığını gösterir.

Üstteki görselin dilinden dolayı bir de Türkçe görsel koyuyorum.


image
Umuyorum ki aradığım cevabı alabilirim şimdiden teşekkürler.

UYARI:
  Önemli düzenleme: İşbu sorudaki ikinci Türkçe olan tanım aşağıda sayın hocalarımızın verdiği sebeplerden dolayı yanlış bir tanımlamadır. Tarafımca yapılan bu yanlıştan dolayı herkesten özür dilerim ve hocalarımızın yorumlarından sonra tanımı kaldırmak yerine böyle bir düzenlemeyle tanımın yanlışlığını soru üzerinde göstermek istedim.
Lisans Matematik kategorisinde (39 puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 21.4k kez görüntülendi

Bu tanim. Yani limitin tanimi bu. Gorsel olarak mi anlamak istiyorsun? Neden bu tanimin gercekten de bizim gorsel olarak hissettigimiz limite denk geldigini?

Ayrica ikinci tanimi nerden aldin? Cunku limitin tanimi icin $0< |x-x_0|<\delta$ olmasi lazim. $0<\cdots$ olmamasi, surekliligin de olmasini gerektirir.

"Neden bu tanimin gercekten bizim gorsel olarak hissettigimiz limite denk geldiğini?" kısmı tam benim aradığım cevap sanırım. İkinci görseli ilk bulduğum Türkçe siteden aldım. Uzaklık belirtilmiş dediğiniz kısımda ve mutlak değer içinde olduğu için zaten sıfırdan büyüktür diye düşündüm.Yanlışlık mı var ikinci tanımda ?

Sıfıra eşit olma durumu da var tamamen gözümden kaçmış.

Goruntunun $L$'ye gittigini gostermeye calisiyoruz degil mi? Yani eger bir limit varsa ve bu limit $L$ ise $L$'ye yakin her aralik icin yani $(L-\epsilon,L+\epsilon)$ araliklari icin $x_0$ civarinda bir aralik olmali ki bizim o gozle gordugumuz ve hissettigimiz limit olsun. Bu epsilonu kucultte kuculte $L$'nin dibine kadar getirebiliriz.

Bunu daha iyi anlamak icin limiti olmayan bir ornek ile bu tanimi hissetmek daha iyi olur.

İkinci tanımda bir yazım hatası var. 

$|x-x_0|<\delta$ ile $|f(x)-L|<\varepsilon$ yer değiştirmeli.

(ve Sercan ın belirttiği gib $0<|x-x_0|<\delta$ olmalı)

Ben de şunları ilave edeyim: İkinci tanım yanlış yapılmış.

1) $f(x)$ fonksiyon değil $f$ fonksiyonunun kuralıdır. Bu bir. 

2) İkincisi $f$ fonksiyonunun tanım kümesi $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin lalettayin bir alt kümesi olamaz (Nedenini aşağıya yazıyorum).

3) Üçüncüsü Doğan hocamın da belirttiği gibi $|x-x_0|<\delta$ ile $|f(x)-L|<\epsilon$ yer değiştirmeli. 

4) Dördüncüsü Sercan'ın da belirttiği gibi $0<|x-x_0|<\delta$ olmalı.

5) Beşincisi $L$ diye birşey var ortalıkta ama ne olduğu belli değil. Yani $L$'nin ne olduğu ifade edilmemiş. 

Yukarıda $2.$ şıkta, ikinci tanımda geçen $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin lalettayin bir küme olamayacağını söylemiştik. Bunun üzerinde biraz duralım. Mesela $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu ele alalım. Bu $f$ fonksiyonu için hiçbir noktada limit söz konusu değildir. Dikkat ederseniz limit vardır ya da yoktur demiyorum. Limitten bahsedilemez diyorum. Bir fonksiyon için belirli bir noktada limitten bahsetmek istiyorsanız mutlaka ama mutlaka ilgili noktanın fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerekir. Hiçbir gerçel sayı  $f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun tanım kümesinin bir yığılma noktası değildir. Dolayısıyla yukarıdaki ikinci tanım doğru verilmemiş. Sonuç olarak dpc'ye tavsiyem ikinci tanımı aldığı kitaptan uzak durması.

Ahaha, gecenin bi vakti zaten sadece |...|<... ifadelerine bakmistim, bu kadar buyuk hata olacagini tahmin etmezdim. Tam da bunun ile ilgili bir soru sormayi dusunuyordum su ara. Sorayim birazdan hatta. 

Herkesten özür dilerim ben de sorumu hazırlarken direk kopyala yapıştır yaptım ikinci tanımı sırf Türkçe bir tanım olsun diye. Şimdi bu kadar yorumdan sonra da ikinci tanımı kaldırmak yanlış olur. Bu yüzden soruyu olduğu şekilde bırakıyorum ama yanlış olduğu bilinsin.(Kaldır derseniz kaldırabilirim eğer doğru olan kaldırmaksa lütfen belirtiniz.) Ben soruyu düzenleyeyim de yine yanlış bilgi yaymayalım insanlara.

Burasi bir forum, yanlis sorular ve cevaplarin olmasi da mumkun. Dogrularin yaninda yanlislari da tartismamiz gerekir. Bu nedenle soruya bir renk geldi bence.

Bence kaldırma. Soruya ve cevaba bakanlar yanlışları görsün. 

Tamamdır. Gerekli notu düştüm altına. Teşekkürler.

2 Cevaplar

2 beğenilme 0 beğenilmeme

Ben de şunları ilave edeyim: İkinci tanım yanlış yapılmış.

1) $f(x)$ fonksiyon değil $f$ fonksiyonunun kuralıdır. Bu bir. 

2) İkincisi $f$ fonksiyonunun tanım kümesi $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin lalettayin bir alt kümesi olamaz (Nedenini aşağıya yazıyorum).

3) Üçüncüsü Doğan hocamın da belirttiği gibi $|x-x_0|<\delta$ ile $|f(x)-L|<\epsilon$ yer değiştirmeli. 

4) Dördüncüsü Sercan'ın da belirttiği gibi $0<|x-x_0|<\delta$ olmalı.

5) Beşincisi $L$ diye birşey var ortalıkta ama ne olduğu belli değil. Yani $L$'nin ne olduğu ifade edilmemiş. 

Yukarıda $2.$ şıkta, ikinci tanımda geçen $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin lalettayin bir küme olamayacağını söylemiştik. Bunun üzerinde biraz duralım. Mesela $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu ele alalım. Bu $f$ fonksiyonu için hiçbir noktada limit söz konusu değildir. Dikkat ederseniz limit vardır ya da yoktur demiyorum. Limitten bahsedilemez diyorum. Bir fonksiyon için belirli bir noktada limitten bahsetmek istiyorsanız mutlaka ama mutlaka ilgili noktanın fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerekir. Hiçbir gerçel sayı  $f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun tanım kümesinin bir yığılma noktası değildir. Dolayısıyla yukarıdaki ikinci tanım doğru verilmemiş. Sonuç olarak dpc'ye tavsiyem ikinci tanımı aldığı kitaptan uzak durması.

Şimdi gelelim limit tanımına:

Tanım: $A\subseteq\mathbb{R}, \ f\in\mathbb{R}^A, \ a\in D(A)$ ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

Demek ki $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$ demek $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)\ldots (\star)$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Bu $(\star)$ önermesinin biraz daha anlamaya çalışalım ve önermeyi biraz gıdıklayalım.

$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$

$$:\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)}}])$$

Burada limite küçük bir ara verelim ve biraz mantık yapalım.

$$p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv p'\vee (q'\vee r)\equiv (p'\vee q')\vee r\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r$$ olduğundan 

$$\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)}}]$$

önermesi yerine 

$$[\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\wedge \underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)}}]\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)}}$$ önermesini yazabiliriz. 

Şimdi limite kaldığımız yerden devam edebiliriz.

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\wedge x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\cap ((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta))]\Rightarrow f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon))$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f(x)\in f[A\cap ((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta))]\Rightarrow f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap ((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta))]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon)]$$

$$\Leftrightarrow$$

$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap ((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\})]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon)]$$

Şimdi gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli bir fonksiyonun limitinin ne demek olduğunu daha iyi anlayabiliriz. Şöyle ki: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon, $a\in D(A)$ (yani $a$, $A$ kümesinin bir yığılma noktası) ve $L\in\mathbb{R}$ olsun.

Demek ki bir $f$ fonksiyonunun $x$, $a$'ya yaklaşırken limitinin $L$ olması demek her $\epsilon>0$ sayısı için öyle bir $\delta>0$ sayısı bulmalıyız ki $A$ kümesi ile $a$'nın çıkartılmış $\delta$ komşuluğunun arakesitinde bulunan gerçel sayıların $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsünün $L$'nin $\epsilon$ komşuluğu tarafından kapsanması anlamına geliyormuş.

(11.4k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi

Sayın dpc'ye ayrıca bu linkteki açıklamaları da okumasını tavsiye ederim. Faydalı olacağı kanaatindeyim.

Teşekkürler sayın hocam.

0 beğenilme 0 beğenilmeme

$\varepsilon$ ve $\delta$ sayılarının sıfıra çok yakın pozitif sayılar olduğunu düşünün.

$0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta$ olması (köklü ifade iki nokta arasındaki uzaklık olduğu için) $Q(x,y)$ (değişken) noktasının $P(a,b)$ (sabit) noktasına "yeterince yakın" (ama ondan farklı) olması demektir.

$|f(x,y)-L|<\varepsilon$ da $f(x,y)$ nin $L$ ye yakın olması demektir.

O halde; bu tanımdaki koşul, $(x,y)$ (değişken) noktasının $(a,b)$ (sabit) noktasına "yeterince yakın" (ama ondan farklı) olduğu (her) zaman $f(x,y)$ nin $L$ ye yakın olması gerektiğini belirtiyor.

Bu da sezgisel olarak yapılan limit tanımıdır.

(Değişken noktanın, sabit bir $P$ noktasına yakın (ama farklı) iken; fonksiyonun o noktadaki değerinin  bir $L$ sayısına yakın olması)

Ek: Ayrıca murad.ozkoc un yorumunda belirttiğin noktayı da gözardı etmemek gerekir.

(6.2k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi
20,238 soru
21,758 cevap
73,397 yorum
2,053,532 kullanıcı