Ben de şunları ilave edeyim: İkinci tanım yanlış yapılmış.
1) $f(x)$ fonksiyon değil $f$ fonksiyonunun kuralıdır. Bu bir.
2) İkincisi $f$ fonksiyonunun tanım kümesi $\mathbb{R}$ gerçel sayılar kümesinin lalettayin bir alt kümesi olamaz (Nedenini aşağıya yazıyorum).
3) Üçüncüsü Doğan hocamın da belirttiği gibi $|x-x_0|<\delta$ ile $|f(x)-L|<\epsilon$ yer değiştirmeli.
4) Dördüncüsü Sercan'ın da belirttiği gibi $0<|x-x_0|<\delta$ olmalı.
5) Beşincisi $L$ diye birşey var ortalıkta ama ne olduğu belli değil. Yani $L$'nin ne olduğu ifade edilmemiş.
Yukarıda $2.$ şıkta, ikinci tanımda geçen $f$ fonksiyonunun tanım kümesinin lalettayin bir küme olamayacağını söylemiştik. Bunun üzerinde biraz duralım. Mesela $$f(x)=x^2$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu ele alalım. Bu $f$ fonksiyonu için hiçbir noktada limit söz konusu değildir. Dikkat ederseniz limit vardır ya da yoktur demiyorum. Limitten bahsedilemez diyorum. Bir fonksiyon için belirli bir noktada limitten bahsetmek istiyorsanız mutlaka ama mutlaka ilgili noktanın fonksiyonun tanım kümesinin bir yığılma noktası olması gerekir. Hiçbir gerçel sayı $f(x)=x^2$ kuralı ile verilen $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$ fonksiyonunun tanım kümesinin bir yığılma noktası değildir. Dolayısıyla yukarıdaki ikinci tanım doğru verilmemiş. Sonuç olarak dpc'ye tavsiyem ikinci tanımı aldığı kitaptan uzak durması.
Şimdi gelelim limit tanımına:
Tanım: $A\subseteq\mathbb{R}, \ f\in\mathbb{R}^A, \ a\in D(A)$ ve $L\in\mathbb{R}$ olmak üzere
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$
Demek ki $$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$ demek $$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)\ldots (\star)$$ önermesinin doğru olması anlamına geliyormuş. Bu $(\star)$ önermesinin biraz daha anlamaya çalışalım ve önermeyi biraz gıdıklayalım.
$$\lim\limits_{x\to a}f(x)=L$$
$$:\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\forall x\in A)(0<|x-a|<\delta\Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon)$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)(\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)}}])$$
Burada limite küçük bir ara verelim ve biraz mantık yapalım.
$$p\Rightarrow (q\Rightarrow r)\equiv p'\vee (q'\vee r)\equiv (p'\vee q')\vee r\equiv (p\wedge q)\Rightarrow r$$ olduğundan
$$\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\Rightarrow [\underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)}}\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)}}]$$
önermesi yerine
$$[\underset{p}{\underbrace{x\in A}}\wedge \underset{q}{\underbrace{x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)}}]\Rightarrow \underset{r}{\underbrace{f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)}}$$ önermesini yazabiliriz.
Şimdi limite kaldığımız yerden devam edebiliriz.
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\wedge x\in (a-\delta,a)\cup(a,a+\delta)]\Rightarrow f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon))$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)([x\in A\cap ((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta))]\Rightarrow f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon))$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f(x)\in f[A\cap ((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta))]\Rightarrow f(x)\in (L-\epsilon,L+\epsilon)]$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap ((a-\delta,a)\cup(a,a+\delta))]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon)]$$
$$\Leftrightarrow$$
$$(\forall\epsilon>0)(\exists\delta >0)[f[A\cap ((a-\delta,a+\delta)\setminus\{a\})]\subseteq (L-\epsilon,L+\epsilon)]$$
Şimdi gerçel tanım kümeli ve gerçel değerli bir fonksiyonun limitinin ne demek olduğunu daha iyi anlayabiliriz. Şöyle ki: $\emptyset\neq A\subseteq\mathbb{R}$, $f:A\to\mathbb{R}$ fonksiyon, $a\in D(A)$ (yani $a$, $A$ kümesinin bir yığılma noktası) ve $L\in\mathbb{R}$ olsun.
Demek ki bir $f$ fonksiyonunun $x$, $a$'ya yaklaşırken limitinin $L$ olması demek her $\epsilon>0$ sayısı için öyle bir $\delta>0$ sayısı bulmalıyız ki $A$ kümesi ile $a$'nın çıkartılmış $\delta$ komşuluğunun arakesitinde bulunan gerçel sayıların $f$ fonksiyonu altındaki görüntüsünün $L$'nin $\epsilon$ komşuluğu tarafından kapsanması anlamına geliyormuş.