İntegral değerini en küçük yapan sabit nedir?

Question

$a<b$ için diyelim ki $f$ fonksiyonu $[a,b]$ aralığında sürekli (continuous) olsun. Bu durumda, $$\int_a^b (f(x)-k)^2dx$$ integral değerini en küçük yapan $k$ sabiti (constant) nedir?

Comments

İlk aklıma gelen $\int_a^c f(x)^2dx=\int_c^b f(x)^2dx$ olacak şekilde bir $c\in[a,b]$ aramak oldu.

---

$C[a,b]$ üzerindeki $L^2$ normuna göre $k$, sabit fonksiyonlar uzayında $S$'deki $f(x)$ fonksiyonuna en yakın eleman olmalı. Bu durumda $f(x)-k\in S^{\perp}$'ün elemanı olmalı. $S$ bir boyutlu bir uzay, o halde, Gram-Schmidt uygulamak yeterli olur.