1+3+5+……+(2n-1)=n^2 ifadesini doğrudan ispat yöntemiyle ispatlayınız...

Question

Lütfen doğrudan ispat yöntemini kullanınız….

Comments

$1+3+5+......+2n-5+2n-3+2n-1$ diye yazıp bi baştan bi sondan alırsanız  ve terim sayısınıda $\dfrac{sonterim-ilkterim}{artışmiktarı}+1$  olduğunu biliyorsanız n terimi n/2 terim sayısında (1+2n-1)+(3+2n-3)+(5+2n-5)+....  şeklinde guruplandırdıgımız barizdir .Yani n/2 tane 2n i topluyoruz $\dfrac{n}{2}.2n=n^2$ olur 

Answer 1

$$S=1+3+5+\dots +(2n-1)$$

$$S=(2n-1)+(2n-3)+(2n-5)+\dots +1$$

$$----------------------$$

$$2S=\underset{n \text{ tane}}{\underbrace{2n+2n+2n+\ldots +2n}}=2n\cdot n=2n^2$$

$$\Rightarrow$$

$$S=n^2$$

Comments

Cok tesekkur ederim

Answer 2

$1+3+5+......+2n-5+2n-3+2n-1$ diye yazıp bi baştan bi sondan alırsanız  ve terim sayısınıda $\dfrac{sonterim-ilkterim}{artışmiktarı}+1$  olduğunu biliyorsanız n terimi n/2 terim sayısında (1+2n-1)+(3+2n-3)+(5+2n-5)+....  şeklinde guruplandırdıgımız barizdir .Yani n/2 tane 2n i topluyoruz $\dfrac{n}{2}.2n=n^2$ olur $\Box$

tümevarımsal olarak 

$1+3+5+..........+2n-1=n^2$ oldugunu ispatlamak için
teoreme göre n+1 içinde doğru yani $1+3+5+..........+2(n+1)-1=(n+1)^2$   olmalıdır deriz
düzenlersek $1+3+5+..........+2n+1=(n+1)^2$ deriz peki önceki denkleme $2n+1$ eklemekle
$(n+1)^2$ elde ediliyormu? eğer ediliyorsa ispatımız biter

$(n+1)^2=n^2+2n+1$ olur ve ispat biter $\Box$

Polinomal çözersek 

$1+3+5+.....+2n-1=an^2+bn+c$ diye bir polinom olcagını tahmın edıyoruz 

ve değerler veriyoruz 

$n=1$  için $1=a+b+c$

$n=2$  için $1+3=4a+2b+c$

$n=3$  için $1+3+5=9a+3b+c$

yeterlidir denklem çözülürse $a=1,b=0,c=0$ bulunur yerlerine konulursa

$1+3+5+.....+2n-1=n^2$ bulunur.$\Box$