Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
0 beğenilme 0 beğenilmeme
308 kez görüntülendi

$\prod _{n=1}^{\infty }\sqrt [n] {\dfrac {3} {4}}=?$

Orta Öğretim Matematik kategorisinde (1k puan) tarafından  | 308 kez görüntülendi

1 cevap

0 beğenilme 0 beğenilmeme
En İyi Cevap

Ilk olarak $$P_k=\prod_{n=1}^k\left(\frac34\right)^{1/n}$$ olarak tanimlayalim. Bizden isten $$\lim\limits_{k\to \infty} P_k$$ degeri. $$P_k=\prod_{n=1}^k\left(\frac34\right)^{1/n}=\left(\frac34\right)^{\sum\limits_{n=1}^k \frac1n}$$ olur ve ayrica $$\lim\limits_{k \to \infty}\sum\limits_{n=1}^k \frac1n \to \infty$$ oldugu bilgisini kullanirsak $(3/4)^x$ fonksiyonu surekli oldugundan $$\lim\limits_{k \to \infty} P_k=\lim\limits_{k \to \infty}\prod_{n=1}^k\left(\frac34\right)^{1/n}=\lim\limits_{k \to \infty}\left(\frac34\right)^{\sum\limits_{n=1}^k \frac1n}=0$$ olur.

(25.3k puan) tarafından 
tarafından seçilmiş

Çok teşekkürler hocam.

20,208 soru
21,732 cevap
73,299 yorum
1,903,775 kullanıcı