Oncelikle, $\mathbb{N}$ ve $\mathbb{Q}$ yazmak icin iki tane $ isareti arasina \mathbb{N} ve \mathbb{Q} yazabilirsin.
Simdi, suna inaniyor musun? $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Z}$ birebir eslenebilirler. Buna inaniyorsan, suna da inaniyor olman lazim: $\mathbb{Q}$ ile $\mathbb{Q}^{+}$ (pozitif rasyonel sayilar) birebir eslenebilirler. Gerci o kadar da kolay degil. Ama inanabilirsin bence.
Yani $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Q}^{+}$ birebir eslenebilirse, o zaman $\mathbb{Z}$ ile $\mathbb{Q}$ da birebir eslenebilir. Ne de olsa birebir eslenebilmek bir denklik bagintisi.
$\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Q}^{+}$'yi eslemek daha kolay. Yapacagimiz sey $\mathbb{Q}^{+}$'nin elemanlarini guzel bir sekilde listeleyip saymak icin bir yontem gelistirmek.
$\mathbb{Q}^{+}$'nin elemanlari neler? $\frac{a}{b}$ seklinde sayilar. $a$ ve $b$'nin pozitif olduklarini dusunebiliriz.
Soyle bir tablo yapalim:
-
Tablomuzun birinci sirasinda $b = 1$ olanlar,
-
Tablomuzun ikinci sirasinda $b = 2$ olanlar,
-
Tablomuzun ucuncu sirasinda $b=3$ olanlar,
ve boyle devam etsin. Yani ilk sira $1, 2, 3, 4, 5, \ldots $ diye giderken, ikinci sira $\frac{1}{2}, \frac{2}{2}, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}, \frac{5}{2} $ diye gitsin.
Bunu bir kagida guzelce yaz, kare seklinde (saga dogru ve asagiya dogru sonsuza giden) guzel bir tablo olustur. Simdi yapman gereken oturup bu tablodaki her elemani bir kere sayacak bir formul gelistirmek. Tamamen ilk siradan gidersen, ilk sira sonsuza kadar gittigi icin ikinci siraya asla gecemeyeceksin. Tamamen ilk sutundan gidersen ikinci sutuna hicbir zaman gecemeyeceksin. Biraz daha zekice bir sey yapmamiz gerekiyor.
Dikkat edersen, sayilar ile hicbir ilgimiz yok su an. O yuzden yaptigin o buyuk tabloda her sayiyi bir nokta ile goster. Simdi eline bir kalem al ve o noktalari birlestirmeye calis. Biraz bulmaca gibi. Bu bulmacayi cozebilirsin bence. Biraz ugras.
Bulmacayi tekrar yazayim. Elinde kare seklinde (saga dogru ve asagi dogru sonsuza uzanan) bazi noktalar var (kareli defterin karelerinin kose noktalarini dusun). Bu noktalari bir sekilde birlestirmen gerekiyor. Izin verilen hamleler sunlar: dikey cizgi, yatay cizgi, capraz cizgi. Butun noktalara bir kez ve yalnizca bir kez ugrayan bir cizgi cizebilir misin?
Bu bulmacayi cozdugunde soruyu tamamlamis... olmayacaksin. Cunku hala kucuk ama gercekten kucuk bir detay var. Yaptigimiz listede, bircok sayiyi birden fazla kez sayiyoruz. Ornegin, $1, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}$ ayni sayiyi ifade ediyor. $\frac{1}{3}\,frac{2}{6}, \frac{3}{9}$ da ayni sayiyi ifade ediyor. Bu da bir problem. Cunku bu, bulmacamizin cozumune karsilik gelen fonksiyonun birebir olmamasi demek. Bundan kurtulmanin yolu da basit:
Bulmacamiza geri donelim. Eger $n$inci hamle sonrasinda geldigimiz nokta daha once temsil edilmisse o zaman o noktanin uzerine bir carpi koyup, $n$'inci hamleyi bulmacanin cozumundeki bir sonraki adima yapalim. Yani, mesela, $1$'e karsilik gelen noktadan gecmissek daha once, $\frac{2}{2}$'ye karsilik gelen nokta yokmus gibi yapalim.
Bu $\mathbb{N}$ ile $\mathbb{Q}^{+}$'in birebir eslenebilir oldugunu gosterir artik. Ilk bastaki bulmacamizin cozumu bir orten fonksiyon verirken, kucuk bir puruzu giderdikten sonra ikinci bulmacamiz hem orten hem de birebir bir fonksiyon verir.
Bulmacayi cozmek sana kaldi. Eger ugrasip da cozemezsen ben ipucu vermeye hazirim.