Question

$$f(x,y)=\frac{(x+y-2)(x+y-1)}{2}+x$$ kuralı ile verilen $$f:\mathbb{N}\times \mathbb{N}\to\mathbb{N}$$ fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu gösteriniz.

Answer 1

$$(x,y)\neq (x',y')\Rightarrow (x+y\neq x'+y' \vee x+y= x'+y')$$

I. Durum: $x+y\neq x'+y'$ olsun. Bu durumda $x+y< x'+y'$ olduğunu farz edebiliriz.

$f(x,y)=\dfrac{(x+y-2)(x+y-1)}{2}+x$

$\leq \dfrac{(x+y-2)(x+y-1)}{2}+x+y-1$

$=\dfrac{(x+y)(x+y-1)}{2}$

$\leq\dfrac{(x'+y'-1)(x'+y'-2)}{2}$

$<\dfrac{(x'+y'-1)(x'+y'-2)}{2}+x'=f(x',y')\Rightarrow f(x,y)< f(x',y')\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y').$

II. Durum: $x+y=x'+y'$ olsun.

$\left.\begin{array}{rr} (x,y)\neq (x',y') \\ \\ x+y=x'+y'\end{array} \right\}\Rightarrow x\neq x'.$ Bu durumda $x<x'$ farz edebiliriz.

$x<x'\Rightarrow f(x,y)-f(x',y')=\dfrac{(x+y-2)(x+y-1)}{2}+x-\dfrac{(x'+y'-2)(x'+y'-1)}{2}-x'$

$\Rightarrow f(x,y)-f(x',y')\overset {(x+y=x'+y')}{=}\dfrac{(x'+y'-2)(x'+y'-1)}{2}+x-\dfrac{(x'+y'-2)(x'+y'-1)}{2}-x'$

$\Rightarrow f(x,y)-f(x',y')=x-x'<0\Rightarrow f(x,y)\neq f(x',y').$

O halde $f$ fonksiyonu birebir bir fonksiyondur.

Comments

Örten olduğunu nasıl gösteririz?