Processing math: 25%
Akademisyenler öncülüğünde matematik/fizik/bilgisayar bilimleri soru cevap platformu
2 beğenilme 0 beğenilmeme
441 kez görüntülendi

Limit hesaplarken fonksiyonlarin seri acilimlarini nasil kullanabiliyoruz?

1) sinx=i=0x2i+1(2i+1)! olarak yazilabiliyor.  Bunu nasil yazariz?

Her ϵ>0 icin |Ni=0x2i+1(2i+1)!sinx|<ϵ sekilde bir N0 degeri bulabiliyorsak limitin tanimindan sinx=lim olur.

Bunu buldugumuzu ve bu esitligi yazabildigimizi varsayiyorum. 


2) Bu durumda x>0 icin (benzer bir sekilde gosterilebilir) \frac{\sin x-x}{x^3}=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{x^{2(i-1)}}{(2i+1)!} olur.

3) Bu durumda da \lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3} olsun. Bu durumda \lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{i=1}^N\frac{x^{2(i-1)}}{(2i+1)!}\right)  olur.

Soru: Buradan sonra nasil devam ediyoruz? Eger \lim\limits_{x\to0}\lim\limits_{N \to \infty} yerine \lim\limits_{N\to\infty}\lim\limits_{x \to 0} yazabiliyorsak bunu nasil yapabiliyoruz? (Bu arada sorum sadece bu ornek icin degil, genel).


Bu son kismin her zaman degismeli olmadigina bir ornek vermek istiyorum: \lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{y \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}1=1 ve \lim\limits_{y\to0}\left(\lim\limits_{x \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}-1=-1 oldugundan limitlerin yerlerini her zaman degistiremeyiz.

Lisans Matematik kategorisinde (25.6k puan) tarafından 
tarafından düzenlendi | 441 kez görüntülendi
20,333 soru
21,889 cevap
73,624 yorum
3,098,390 kullanıcı