Question

Limit hesaplarken fonksiyonlarin seri acilimlarini nasil kullanabiliyoruz?

1) $\sin x=\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}$ olarak yazilabiliyor.  Bunu nasil yazariz?

Her $\epsilon >0$ icin $$\left|\sum\limits_{i=0}^N \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}- \sin x\right| < \epsilon$$ sekilde bir $N \geq 0$ degeri bulabiliyorsak limitin tanimindan $$\sin x=\lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{i=0}^N\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}=\sum\limits_{i=0}^\infty \frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}$$ olur.

Bunu buldugumuzu ve bu esitligi yazabildigimizi varsayiyorum. 

2) Bu durumda $x>0$ icin (benzer bir sekilde gosterilebilir) $\frac{\sin x-x}{x^3}=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{x^{2(i-1)}}{(2i+1)!}$ olur.

3) Bu durumda da  $$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3}$$ olsun. Bu durumda $$\lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{i=1}^N\frac{x^{2(i-1)}}{(2i+1)!}\right)$$ olur.

Soru: Buradan sonra nasil devam ediyoruz? Eger $\lim\limits_{x\to0}\lim\limits_{N \to \infty}$ yerine $\lim\limits_{N\to\infty}\lim\limits_{x \to 0}$ yazabiliyorsak bunu nasil yapabiliyoruz? (Bu arada sorum sadece bu ornek icin degil, genel).

Bu son kismin her zaman degismeli olmadigina bir ornek vermek istiyorum: $$\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{y \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}1=1$$ ve  $$\lim\limits_{y\to0}\left(\lim\limits_{x \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}-1=-1$$ oldugundan limitlerin yerlerini her zaman degistiremeyiz.