Limit hesaplarken fonksiyonlarin seri acilimlarini nasil kullanabiliyoruz?
1) sinx=∞∑i=0x2i+1(2i+1)! olarak yazilabiliyor. Bunu nasil yazariz?
Her ϵ>0 icin |N∑i=0x2i+1(2i+1)!−sinx|<ϵ sekilde bir N≥0 degeri bulabiliyorsak limitin tanimindan sinx=lim olur.
Bunu buldugumuzu ve bu esitligi yazabildigimizi varsayiyorum.
2) Bu durumda x>0 icin (benzer bir sekilde gosterilebilir) \frac{\sin x-x}{x^3}=\sum\limits_{i=1}^\infty \frac{x^{2(i-1)}}{(2i+1)!} olur.
3) Bu durumda da \lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3} olsun. Bu durumda \lim\limits_{x\to0} \frac{\sin x-x}{x^3}=\lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{N \to \infty}\sum\limits_{i=1}^N\frac{x^{2(i-1)}}{(2i+1)!}\right) olur.
Soru: Buradan sonra nasil devam ediyoruz? Eger \lim\limits_{x\to0}\lim\limits_{N \to \infty} yerine \lim\limits_{N\to\infty}\lim\limits_{x \to 0} yazabiliyorsak bunu nasil yapabiliyoruz? (Bu arada sorum sadece bu ornek icin degil, genel).
Bu son kismin her zaman degismeli olmadigina bir ornek vermek istiyorum: \lim\limits_{x\to0}\left(\lim\limits_{y \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}1=1 ve \lim\limits_{y\to0}\left(\lim\limits_{x \to 0}\frac{x-y}{x+y}\right)=\lim\limits_{x\to0}-1=-1 oldugundan limitlerin yerlerini her zaman degistiremeyiz.