Limit hesaplarken fonksiyonlarin seri acilimlarini nasil kullanabiliyoruz?
1) sinx=∞∑i=0x2i+1(2i+1)! olarak yazilabiliyor. Bunu nasil yazariz?
Her ϵ>0 icin |N∑i=0x2i+1(2i+1)!−sinx|<ϵ sekilde bir N≥0 degeri bulabiliyorsak limitin tanimindan sinx=limN→∞N∑i=0x2i+1(2i+1)!=∞∑i=0x2i+1(2i+1)! olur.
Bunu buldugumuzu ve bu esitligi yazabildigimizi varsayiyorum.
2) Bu durumda x>0 icin (benzer bir sekilde gosterilebilir) sinx−xx3=∞∑i=1x2(i−1)(2i+1)! olur.
3) Bu durumda da limx→0sinx−xx3 olsun. Bu durumda limx→0sinx−xx3=limx→0(limN→∞N∑i=1x2(i−1)(2i+1)!) olur.
Soru: Buradan sonra nasil devam ediyoruz? Eger limx→0limN→∞ yerine limN→∞limx→0 yazabiliyorsak bunu nasil yapabiliyoruz? (Bu arada sorum sadece bu ornek icin degil, genel).
Bu son kismin her zaman degismeli olmadigina bir ornek vermek istiyorum: limx→0(limy→0x−yx+y)=limx→01=1 ve limy→0(limx→0x−yx+y)=limx→0−1=−1 oldugundan limitlerin yerlerini her zaman degistiremeyiz.