$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$ limiti (L'hopital ve seri yontemleri disinda)

Question

$$\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$$ limitini L'hopital ya da seri yontemi kullanmadan bulunuz.

1) L'hopital yontemi iki kere uygulaninca cozume ulasabiliriz.
2) $e^x$ fonksiyonunun seri acilimini kullanmamiz yeterli.

Answer 1

Limitinin var oldugunu kabul edeilm ve bu limit $L$ olsun.

$$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^x-1-x}{x^2} = \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(\dfrac{e^{2x}-(1+x)^2}{x^2}\right)$$$$= \lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(4\dfrac{e^{2x}-1-2x}{4x^2}-1\right)$$$$ = \lim\limits_{x\to 0}4\left(\dfrac{1}{e^x+1+x}\right)\left(\dfrac{e^{2x}-1-2x}{4x^2}\right)-\dfrac{1}{2}$$$$ = 2\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{e^x-1-x}{x^2}\right)-\dfrac{1}{2}$$ olur. Buradan $$L=2L-\frac12$$ gelir.

Comments

temiz olmuş elinize sağlık.

Answer 2

$\begin{align*} & e^{x}=1+x+\dfrac {x^{2}} {2!}+\dfrac {x^{3}} {3!}.......\\ & \end{align*} $

$e^{x}-1-x=\dfrac {x^{2}} {2!}+\dfrac {x^{3}} {3!}+.....$

$\dfrac {e^{x}-1-x} {x^{2}}=\dfrac {\dfrac {x^{2}} {2!}+\dfrac {x^{3}} {3!}+.....} {x ^{2}}$

ve

$\lim _{x\rightarrow 0}\left( \dfrac {1} {2!}+\dfrac {x} {3!}+\dfrac {x^{2}} {4!}-\right) =\dfrac {1} {2!}$

olur.

Comments

soruda bu yontemlerin kullanilmamasi isteniyor.

---

"2) exex fonksiyonunun seri acilimini kullanmamiz yeterli." seri açılımı bu degilmi

---

tamam en sondaki notu şimdi kavradım :D birdaha düşünüyim 

Answer 3

Siteye tabletle girdiğim icin latex kullanarak yazmam nerdeyse imkansız,  süekli birbirini terarkayan harfler oluyor, eve gecince latexle yazmaya çalışırım, sru guzel olunca çözümü paylaşmadan edemedim, teşekkür ederim, kusura bakmayin...

Comments

Cözüm mükemmel!

---

Güzel düşünceleriniz için teşekkür ederim...

---

Soru cevaplandigindan ek cevaplara acigiz artik, fotonyiyen :)

Mavi renki $1$ nereden geldi?

---

hocam aynen bende orda kafayı yedım ya daha aptal gözükmüyüm diye sormaya utandım hangi yöntemle limitten 1 olarak çıktı efendim orası...

---

e sayısının limit gösterimi...

---

Onu bulurken l'hopital ya da seri kullanılıyor mu peki? Nasıl bulunuyor?

---

Evet ikiside kullanılıyor, e sayısını (1+1/n)^n dizisinin limiti olarak öğrendiğimiz için bilindik bir durum olduğunu düşündüm. Diğer şekillerde dönüşümlerle ulaşılabilir mi şu an bilmiyorum, uğraşmak gerekli...

Answer 4

(serilerle çözüme benzediği için) Biraz hileli gibi olacak ama KalanlıTaylor Teoremi ile yapılabilir.

($e^x$ cebirsel bir fonksiyon olmadığından) klasik çarpanlara ayırıp sadeleştirme bu durumda imkansızdır ve bu fonksiyon hakkında türevleri dışında pek bilgimiz olmadığı için pek fazla seçeneğimiz de yok.

Kalanlı Taylor Teoreminden (her $x\neq0$ için)

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{e^z}{3!}x^3$ olacak şekilde (0 ile $x$ arasında, $x$ e bağlı) en az bir $z$ sayısı vardır.

Bu da, $|x|<1$ iken ($0<e^z<e$ olacağı için),

 $\left| \frac{e^x-1-x}{x^2}-\frac{1}{2}\right|\leq\frac{e}{6}|x|$ olur.

Buradan, Sıkıştırma Teoremi kullanarak,

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}=\frac12$ elde edilir.