Sürekli bir fonksiyonun işaret değiştirmesi

Question

$[0,1]$ kümesi üzerinde tanımlı sürekli bir fonksiyonun işaret değiştirdiği noktalar ne kadar çok olabilir?

Comments

Sonlu-sonsuz olarak mi? Sayilabilirlik cinsi de onemli mi?

Ek: Her $n\geq 1$ icin $\sin((n+1)\pi x)$ fonksiyonunun $n$ adet isaret degistirme noktasi olur.

---

Mesela sayılamaz olabilir mi? Sonsuz olabilir mi?

---

$$f(x)=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & x=0 \\ x\sin\left(\frac{\pi}x\right) & , & x\in(0,1]\end{array}\right.$$ kuralı ile verilen $$f:[0,1]\to\mathbb{R}$$ fonksiyonu süreklidir. Bu fonksiyonunun işaret değiştirdiği noktaların sayısı sonlu değildir.

---

Geriye sayilamaz olabilir mi kaldi. Bir tugla daha...

---

Ve geldik zurnanın zırt dediği yere. Peki sayılamaz olabilir mi? Olursa, türevlenebilir bir fonksiyon için aynı sorunun yanıtı ne olur?

Answer 1

Böyle bir fonksiyon sayılamaz çoklukta noktada işaret değiştiremez çünkü sıfırdan büyük sayıların toplamının sonlu olması bu sayıların miktarının sayılabilir olmasını gerektirir. Peki $[0,1]$ yerine $\mathbb{R}$ alsaydık ne olurdu? İşte bu soru daha zor, Burak'ın çözebileceği tarzda bir soru.

Comments

"@Burak" yapinca ona notifikasyon gitse keske. 

---

<p>
    merhabaaq 4+5 kaç edeeeeeerrrrrr??? ben manyaaaq
</p>

---

<p> merhabaaq 4+5 kaç edeeeeeerrrrrr??? ben manyaaaq<br>
</p>

---

$[0,1]$ de olamazsa, $\mathbb{R}$ de  olamaz; çünki $\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}[n,n+1]$

("İşaret değiştirme" tanımı tam olarak ne?)

---

Çünkü en azından bir tanesinin içine sayılamaz çoklukta düşmesi gerek.

---

Tanımı tam olarak vermek istemiyorum hocam. Sıfır olduğu yerin sağında sıfırdan farklı olarak önce pozitif değer alıyorsa ve solunda sıfırdan farklı olarak önce negatif değer alıyorsa, sıfır olduğu o aralığa bir işaret değiştirme noktası diyebiliriz mesela. (Ve tabii bunun tersi durum için de.)

---

Ben de öyle tahmin ettim. Bu tanımla en çok sayılabilir çoklukta böyle nokta olacağı daha kolay $R$ nin ikinci sayılabilirliğinden elde edilmez mi?

---

Ben açıkçası buradan nasıl ispatlayabiliriz göremedim. 

---

$a, \ f$ nin işaret değiştirdiği bir nokta olsun.

$r<a<s,\ r,s\in\mathbb{Q},\quad f, (r,a)$ ve $(a,s)$ aralıklarında zıt işaretli (birinde pozitif, diğerinde negatif) olsun.

$a\mapsto (r,s)$ 1-1 dir. Çünki bu aralıkta $f$ nin tek kökü: $a$

Ama $(r,s)$ aralıklarından sayılabilir çoklukta var.

$f$ sürekli olmasa bile bu iddia doğru oluyor.