Limit..

Question

$\lim _{x->9}\dfrac {\sqrt {6+\sqrt {6+\sqrt {x}}}-3} {x-9}$ ifadesinin eşiti kaçtır?Cevap:$\frac{1}{216}$.

$\frac{0}{0}$ belirsizliği çıktı.Üstü türevini almaya çalıştım ama olmadı.

Answer 1

Farkli bir cozum olarak:

$f(x)=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt x}}$ fonksiyonunun $x=9$ noktasindaki turev degeri soruluyor. Turevi $$\frac12(6+\sqrt{6+\sqrt x})^{-1/2}\cdot(\frac12(6+\sqrt x)^{-1/2})\cdot\frac1{2\sqrt x}$$ olur ve $x=9$ icin $$\frac12\frac13\frac16\frac1{6}=\frac1{216}$$ olur.


Buradan yola cikarak sunu diyebiliriz: Kok icerisin ne kadar ilerlersek o kadar $1/6$ gelir. Bu nedenle ilerledikce cevap $\frac1{6^n}$ olur. Burada $n=3$ icin cevap bulduk.

Answer 2

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}-3}{x-9}$$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}-3}{x-9}\cdot\frac{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3} $$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{\sqrt{6+\sqrt{x}}-3}{x-9}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3} $$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{\sqrt{6+\sqrt{x}}-3}{x-9}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3}\cdot\frac{\sqrt{6+\sqrt{x}}+3}{\sqrt{6+\sqrt{x}}+3} $$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{x}}+3} $$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{\sqrt{x}-3}{x-9}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{x}}+3}\cdot\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3} $$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{x-9}{x-9}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{x}}+3}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}+3} $$

$$=$$

$$\lim\limits_{x\to 9}\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}+3}\cdot\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{x}}+3}\cdot\frac{1}{\sqrt{x}+3} $$

$$=$$

$$\ldots$$

Comments

Hocam benim cevabımın altındaki yoruma bakabilir misiniz? Mantıklı görünüyor ama bir yerde hata var bulamıyorum.

---

Orada ne yaptığın anlaşılmıyor.

---

$9$ yazmak yerine $6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}$ yazdım böylece paydadaki sonsuz seri paydaki sonsuz serinin karesi oldu ben de kare farkı şeklinde sadeleştirdim.

Answer 3

L'hopital yöntemiyle payın ve paydanın ayrı ayrı türevini alırsak $lim_{x \rightarrow 9} \frac{(\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}-3)'}{(x-9)'}=lim_{x \rightarrow 9} \frac{\frac{1}{2.\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{x}}}}.\frac{1}{2.\sqrt{6+\sqrt{x}}}.\frac{1}{2.\sqrt{x}}}{1}=\frac{1}{216}$ olur.

Comments

Aslında aklıma ilk önce $x=9=6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}$ şeklinde yazıp $\frac{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}-3}{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}-9}$ kesrinde kare farkıyla sadeleştirerek $\frac{1}{\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}+3}$ şeklinde çözmek geldi ama öyle cevap $\frac{1}{6}$ çıktı.

---

x=9 yapmadan çözüceksin sonradan x=9 diyeceksin zincir şeysini yapmaya çalışmıssın güzel ama ,

$f'(1)$ diyince ilk türev alıp sonra yerine 1 yazıyoruz vs vs.

Answer 4

$lim_{x \to 9} \frac{(6+(6+(x)^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}}{x-9}$ ise bir kere Hopital yaparsak.İcirden disari doğru türev alirsak.Sorun kalmaz.

$lim_{x \to 9} \frac{1}{2\sqrt{x}}.(\frac{1}{2.\sqrt{x^{1/2}+6}}).(\frac{1}{2.\sqrt{6+\sqrt{6+x^{1/2}}}})$ gelir.

Comments

Hocam kendi cevabımın altındaki yorumuma bir göz atabilir misiniz rica etsem? Çıkamadım işin içinden.

---

Ne yaptigini tam olarak kavrayamadim Moriartied 

---

$9$ yazmak yerine $6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}$ yazdım böylece paydadaki sonsuz seri paydaki sonsuz serinin karesi oldu ben de kare farkı şeklinde sadeleştirdim.

Answer 5

Değişken değiştirme  yönetimde kullanılabilir.

$x=t^2$ dersek.

$lim_{t \to 3} \frac{\sqrt{6+\sqrt{6+t}}-3}{t^2-9}$ gelir.Buradan da $6+t=u^2$ dersek.

$lim_{u \to 3} \frac{\sqrt{6+u}-3}{(u^2-6)^2-9}$ gelir.Buradan da $6+u=m^2$ dersek.

$lim_{m \to 3} \frac{m-3}{((m^2-6)^2-6)^2-9}$ gelir.Sanirim bu şekilde türev almak daha kolay gelir.

Bir kere Hopital yaparsaj.

$lim_{m \to 3} \frac{1}{2.m.2.(m^2-6).2.((m^2-6)^2-6)}$ dan sonuç yine gelir.