Question

1 den büyük her tam sayı farklı asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı olarak tek şekilde yazılır.

$k_1 , k_2 , k_3,...,k_n$ birbirinden farklı asal sayılar

$x_1 , x_2, x_3,...,x_n$ pozitif tam sayılar olmak üzere,

$ A = {k_1}^{x_1}.{k_2}^{x_2}.{k_3}^{x_3}....{k_n}^{x_n}$ 

$ f(A) = {x_1}^2 + {x_2}^2 +{x_3}^2+....+{x_n}^2 $şeklinde tanımlanıyor. 

Buna göre , $A<1200$ olmak üzere f(A)'nın en büyük değeri kaçtır?

Answer 1

1) $x_1+\cdots+x_n=a$ ve $k_1,\cdots,k_n$ farkli asallar olsun. Bu durumda $$2^a=2^{x_1+\cdots+x_n} \leq k_1^{x_1}\cdots k_n^{x_n}$$ olur ve esitlek sadece $n=1$ ve $k_1=2$ durumu icin saglanir.

2) $a,b>0$ iken $$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab >a^2+b^2$$ olur. Daha genel halde $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$ icin $$(a_1+a_2+\cdots+a_n)^2=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+\cdots>a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2$$ olur.

Bu ikisini goz onune alarak ve $2^{10}<1200<2^{11}$ oldugunu kullanarak sonucu bulabiliriz.

Comments

Hocam çok özür dileyerek söylüyorum , anlayamadım

şıklarda 81,90,100,120 ve 150 var bu arada.

---

Cevap $100$. Cunku $x_1+x_2+\cdots+x_n=a$ en fazla $10$ olabilir. 

---

Hocam çok ağır geldi bu soru bana :D Cevabınız için çok teşekkürler :)

---

Agir degil. Ben sana neden $100$ olacaginin ispat yolunu da verdim. Yoksa $100$ deyip gecilebilir ama neden $100$. Bi ara yavas yavas oku. Anlasilmaz degil.

---

Hocam $p_1$ ne onu anlamadım , soruda da p yok? Kusura bakmayın sizi de uğraştırıyorum 

---

$k_1$ o. Genelde asallar (prime) icin $p$ harfi kullaniliyor, el aliskanligi.

---

Doğrudur hocam bende gittim ona takıldım çok cinsim ya :D Tekrar teşekkürler