En temiz kanıt alionur'un verdiği kanıttır. Fakat çoğu kez $K$ üzerinde cebirsel $\alpha $ ve $\beta $ gibi iki eleman, sırasıyla $p,q\in K\left[ x\right] $ gibi iki polinomun kökleri ise $
\alpha +\beta $ nın sağladığı bir $g\in K\left[ x\right] $ polinomu bulmak önemli olabilir.
$pq$ polinomunun $K$ üzerinde parçanış cismi $L$ olsun. $
\alpha =\alpha _{1},...,\alpha _{n}\in L$, $p$ polinomunun $L$ içindeki tüm kökleri ve $\beta =\beta _{1},...,\beta _{m}\in L$ , $q$ polinomunun $L$ içindeki tüm kökleri olsun.
\[
g\left( x\right) =\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}\left(
x-\alpha _{i}-\beta _{j}\right) \in K\left[ x\right]
\]
istenen koşulları sağlar. Neden?
\[
h\left( x\right) =\prod\limits_{i=1}^{n}\prod\limits_{j=1}^{m}\left(
x-\alpha _{i}\beta _{j}\right) \in K\left[ x\right]
\]
koyacak olursak $\alpha \beta $ elemanı $h\in K\left[ x\right] $ polinomunu sağlar.
Örnek : $\mathbb{Q}$ üzeride cebirsel olan $\sqrt{3}$ ve $\sqrt[3]{2}
$ gerçel sayıları, sırasıyla $p=x^{2}-3,q=x^{3}-2\in \mathbb{Q}
\left[ x\right] $ polinomlarını sağlıyorlar. $\sqrt{3}+\sqrt[3]{2}$
sayısının sağladığı bir polinom bulmak için $\omega =
\frac{1}{2}\left( -1+i\sqrt{3}\right) $ olmak üzere
\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\left( x-\sqrt[3]{2}-\sqrt{3}\right) \left( x-\omega
\sqrt[3]{2}-\sqrt{3}\right) \left( x-\omega ^{2}\sqrt[3]{2}-\sqrt{3}\right)
\\
&&\left( x-\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}\right) \left( x-\omega \sqrt[3]{2}+\sqrt{3}
\right) \left( x-\omega ^{2}\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}\right)
\end{eqnarray*}
koyalım.
\begin{eqnarray*}
g\left( x\right) &=&\left( \left( x-\sqrt{3}\right) ^{3}-2\right) \left(
\left( x+\sqrt{3}\right) ^{3}-2\right) \\
&=&x^{6}-9x^{4}-4x^{3}+27x^{2}-36x-23
\end{eqnarray*}
olur.
Örnek : $\mathbb{Q}$ üzeride cebirsel olan $\alpha =\sqrt{3}$ ve $
\beta =\sqrt{2}$ gerçel sayıları, sırasıyla $\alpha \beta =\sqrt{
6}$ dır.
\[
h\left( x\right) =\left( x-\sqrt{3}\sqrt{2}\right) \left( x+\sqrt{3}\sqrt{2}
\right) \left( x+\sqrt{3}\sqrt{2}\right) \left( x-\sqrt{3}\sqrt{2} \right)
\]
koyalım. $h\left( x\right) =x^{4}-12x^{2}+36 = \left(
x^{2}-6\right) ^{2}$ dir. Bu duruma $h$ nin $\alpha \beta =\sqrt{6}$ nın $
\mathbb{Q}$ üzeride sağladığı minimal $x^{2}-6$ polinomu olmadığına dikkat etmek gerekir.