$n^2$ cift ise $n$ de cift midir?

Question

$n$ bir tam sayi olsun. $n^2$ cift ise $n$ de cift midir? Ispatlayiniz.

Comments

Diyelim ki dogru, yani $n^2$ cift ise $n$ de cift. Tersini ispatlayalim, yani  $n$ cift degilse $n^2$ de cift degil.

Ispat: Kabul edelim ki $n$ cift degil. O zaman  $n$ tektir ve  $n=2k+1, \quad k\in N$ seklinde yazilabilir. Burdan $n^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1=2t+1, \quad t\in N$

Answer 1

Evet çifttir çünkü n sayısı bir tam sayı tam sayılar 

Pozitif ve negatif olmak üZere iki kısma ayrıliyordu n nin karesi çift iSe n de çifttir mesela n=2 dersek 2' nin karesi 4 çİft oldu iKiside 

Eger n=1 dersek n 'nin kareside 1 e eşit olur tek sayı olur bundan dolAyı n nin kaResi çift ise n'de çift olur

Comments

Bu ispat değil. Ayrıca cümleler birbirini gerektirmiyor. 

Ek olarak: $n+2$ de $n=2$ için $4$ yapıyor. Peki $n+2$ her zaman çift mi?

---

n+2 de herzaman çiFt bnce

---

$n=1$ için $n+2=3$ yapar. Yani her zaman çift değil.

Kısacası demek istediğim, bir kaç örnek ile doğru olması her zaman doğru olacağı anlamına gelmez.

Answer 2

Okkes'in yorumlarda bir ispati var. Baska acidan bakalim. 

$n^2+n$ sayisini inceleyelim. $n^2+n=n(n+1)$ yani ardasik sayilarin carpimi oldugundan cifttir. (Burada ardasik iki sayidan birinin cift oldugunu kullandik, bu dogru mu?).

Demek ki $n$ sayisi $n(n+1)+(-n^2)$ sayisi da cift olmali. Neden? 

1) Cift sayinin negatifi de cifttir.
2) Iki cift sayinin toplami cifttir. 

Bunlar dogru ise (ki dogru) ispatimiz da dogru.