$(0,1)$ ile $\mathbb{N}$ sayısal denk midir ?

Question

Sayılamaz olan $(0,1)$ kümesi ile sayılabilir olan $\mathbb{N}$ kümesi sayısal denk midir ?

Answer 1

Varsayalım ki $(0,1)$ kümesi ile $\mathbb{N}$ kümesi sayısal denk olsun. O zaman  $(0,1)$ kümesi ile $\mathbb{N}$ kümesi arasında bir birebir eşleme vardır. $(0,1)$ aralığındaki her sayıyı  $$0,a_{11}a_{12}a_{13}\ldots$$ şeklinde yazılabileceğini göz önünde bulunduralım.

$\underline{\,\ \mathbb{N} \,\ }$ $\qquad \qquad$  $\underline {\,\ (0,1) \,\ }$ 

$\,\ 1 \quad \longleftrightarrow \,\  0,a_{11}a_{12}a_{13}...$

$\,\ 2 \quad \longleftrightarrow \,\ 0,a_{21}a_{22}a_{23}...$

$\,\ 3 \quad \longleftrightarrow \,\ 0,a_{31}a_{32}a_{33}...$

$\,\,\ \vdots$ $\qquad \qquad \qquad$ $\,\,\ \vdots$

Şimdi de $$b_{i}:=\left\{\begin{array}{ccc} 0 & , & a_{ii}=1 \\ 1 & , & a_{ii}\neq 1 \end{array} \right.$$  olmak üzere $$0,b_1b_2b_3\ldots$$ sayısı $$\underline {\,\ (0,1)\,\ }$$ sütununda bulunan her sayıdan farklıdır. O halde varsayımımız yanlış. Yani $(0,1)$ kümesi ile $\mathbb{N}$ kümesi sayısal denk değildir.

Comments

http://matkafasi.com/2252/0-1-kapali-araligi-numaralandirilamaz?show=2252#q2252

İlgili olanlar bu linke de bakabilirler.

---

Teşekkürler . . .

Answer 2

$(0,1)$ reel sayilara denktir, numaralandirilamaz ama dogal sayilar numarilandirilabilir.

Comments

Ben de bu konuyu 1 ay once ogrendim galiba, basitmis. Gozun korkmasin.

---

İşte doktoramı bitirdim, Dublin'de araştırmacıyım, daha yeni öğrendim gözün korkmasın. Sağol valla, hepimiz ne kadar kolaymış dedik sayende :D

---

tesekkür ederim

---

Yok daha yeni basladim.. ama arastirmaci oldugum dogru.. Ilk senem, bir makelemizi onaylattik. iki adet daha var ama bekletiyoruz.. belki bir makale yaparim ikisini.. Tek yaptigim bilgili insanlarin bulmus oldugunu kullanmak, iyi ki varlar :) Sayelerinde bos vakim cok oldugundan sitede takiliyorum, Safak hocam gibi iyi ki olan insanlar sayesinde bilgi olarak da ilerliyorum..

http://matkafasi.com/2294/%24-mathbb-q-x-%24in-asal-idealleri?show=2294#q2294

bir ay bile olmamis, sana sordugum soruyu hatirliyorum.. ama ogrenecem hepsini.. temelini en azindan.. bu sene kollari sivadim.. ama arastirmayla beraber cidden cok zor, 2 haftadir alik alik soruma bakiyorum.. Tek yeni ogrendigim seyler sitede gorduklerim oluyor hatta.. 

ilerde bu yaziyi okuyan olursa ve genc ise otursun calissin.. benim su anki cilemi cekmesin..

---

valla ben de salih'in duacısıyım. bu arada doktoraya yeni başlaman sayılabilme konusunun kolaylığı hakkında içimizi rahatlattı mı sanıyorsun gerçekten :)

---

Sene  2008'in basi Math 111 aliyorum (Fundementals of ....bir sey).. Soruda tumevarimla ispatlayin diye bir sey vardi, bilmiyordum anlamini, yani tumevarim nedir onu bilmiyordum, direk ispatladim. sayilabilirlik konusunu hic hatirlamiyorum, ama ogretilmistir diye dusunuyorum, kitapta konusu vardi cunku.. Tabi Temel (Fundemental) eksik gittim, en sonunda da, $3.$ sinifim, mezun olacam.. Galois teorisi aliyorum, finalinde bir soru var, halkalarin tersinirleri ile ilgili. Ben ispata tersinir elemanlar $\pm1$ oldugundan ile basladim, ama ertesi sene yanlisimi anlamistim.. Umarim simdi olmustur :)

---

Ben bi derste tahtaya $1+2+4+\cdots$ yazdım diye ikinci sınıfta, kaideme tekme, sırtıma yumruk yemiştim. Neyse, sonra analiz öğrendim, anladım yanlışımı.

---

çeliktepe cengiz han lisesinde matematik okudum da :)

---

"Lise Do Sen Benuga" ile yapilan macta sen de oynuyor muydun :)

Answer 3

sayılabilir kümenin Lebesque ölçüsü 0 dır ve aralıkların ölçüleri uzunluklarına eşittir önermelerini birleştirince de aynı sonuç elde edilir.