Question

Aşağıdakilerden hangisi $x^5+x+1$ ifadesinin çarpanlarından biridir? Cevap:$x^2+x+1$.

Şıklardan giderek cevabı doğru buldum.Ama şıklardan gitmeyerek nasıl bulunabilirdi anlatırsanız sevinirim.

Answer 1

$$x^5+x+1=x^5-x^2+x^2+x+1=x^2(x^3-1)+(x^2+x+1)$$ ve $$x^2(x-1)(x^2+x+1)+(x^2+x+1)$$ $$(x^2+x+1)(x^3-x^2+1) \ olur$$

Comments

Hocam müthişsiniz çok teşekkür ederim..

---

Bu soruyu benim cevabin dahi iyi demek icin sormuyorum, zaten o kadar da iyi bir cevap verdigimi dusunmuyorum, yanlis anlasilma olmasin: 

Asil soru neden $\pm x^2$ ekledigimiz olmali? Bu cozumu ben de paylasacaktim ama benim kafamdaki sebebi bunun bir boleninin hali hazirda $x^2+x+1$ oldugunu bilmem olduguydu, bu nedenle paylasmadim. Bu bilgim ile $+x^2$ ile $x+1$'i elemis, geriye kalani da $x^2$ parantezinde $3$. dereceden bir polinoma indirgemis olacaktim. -ki cevapta da bu var. 

Yavuz, gercekten merak ediyorum neden $\pm x^2$ ekledin? Ne zaman ne ekleyip/cikartmamiz gerektigini nasil gorecegiz? Gercekten anlasilir bir yontemi var ise ogrenmek isterim.

---

Mesela bu soruda neden $\pm p^2$ eklemem gerektigini anliyorum, oradaki cevabimda da belirttim. Fakat burada  $\pm x^2$ eklememin tek sebebi, su an icin bana gore, cevabimda yazdigim ozellik. Cunku bu ozellige gore bir boleninin $x^2+x+1$ oldugunu biliyorum ve $\pm x^2$ eklemek carpanlara ayirmak icin, yukarida bahsettigim ve cevapta oldugu gibi, cok basit.

---

Ben aslında artık pek çözüm atmıyorum bu soruya sizn verdiğiniz cevaba rağmen cevap atmamın tek sebebi bu soru sık sık soruluyor elle yazmak istemediğimden. Gerekirse buradaki linki kopyalarım 

---

Ne eklediğimizi Nasıl birleceğimize gelince örneğin diğer soruyu ben herhangi bir şey eklemeden descartes yöntemi ile çözüyorum bu soruda ise x^2 ekleneceği çok açık 3 ve 4 derece polinomlarda neler yapılacağının bir algoritması var ama 5 ve 5 den sonrasının yok ( muhtemelen bunu sizde biliyorsunuz) ama polinom simetrik ise x^2 ye bölünür.

---

Benim istegim birden fazla cevap olsun, farkli farkli metodlar gorelim. -ki cevaplarimiz da apayri. Bu cevap ben yapabilsem de, benim kafamda yapamadigim bir yontem. Bu nedenle iyi ki paylasmissin. Bu sekilde bilgi alisverisi yapiyoruz.

---

Bu son cumleyi anlamadim: polinom simetrik ise $x^2$'ye bolunur, kismini.

---

Diger soru icin de eger farkli bir yontem varsa, onu da o cozume ekleyebilir misin, Descartes yontemini. Hatta vaktin olup paylasmak istersen yeni baslikta da paylasabilir misin yontemi?

---

Bilgisayar başına geçtiğim bir ara paylaşmaya çalışırım  kolay gelsin

Answer 2

$x^{3n+2}+x^{3m+1}+1$ polinomunun bir çarpanı $x^2+x+1$'dir. Çünkü $x^2+x+1$'in kökleri için $x^3=1$ sağlanır.

Genel olarak derecesi $5$ ve üzeri polinomları çarpanlara ayırmak kolay değil.

Comments

Çok teşekkürler hocam..