Üslü fonksiyon türev ispat

Question

$\left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) }$ fonksiyonun türevini alırken klasik yöntem ln almak ama şu yöntemle de soruları yapıyoruz ispatı nasıl yapılır acaba?

Yöntem: $\left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) }$ biraz $x^{n}$ birazda $a^{x}$ formatına benziyor o halde iki formamda da türev alıp toplarsam yani ;

$x^{n}$ için: $g\left( x\right) \left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) -1}f^{'}\left( x\right)$

 $a^{x}$ için:$g^{'}\left( x\right) f\left( x\right) ^{9\left( x\right) }\ln \left( f\left( x\right) \right) f^{'}\left( x\right)$

Taraf tarafa toplarsak işlem tamam.Örneğin klasik olan $x^{x}$ fonksiyonunun türevini alalaım

önce $x^{n}$ için:$xx^{x-1}$

+

 $a^{x}$ için:$x^{x}\ln x$

=$x^{x}\cdot \left( \ln x+1\right)$

bu şekilde ki $\left[ f\left( x\right) \right] ^{9\left( x\right) }$ bütün fonksiyonlarda geçerli bu peki bunu nasıl ispatlayabiliriz?

Comments

Siz bence aşmışsınız:)) Ama bazı kuralları dikkate almazsak nasıl olur?

---

estağfurullah,ne gibi mesela ?

---

Benzetmeler ne kadar doğru? iki yanlış bir doğru eder mi? Fakat düşünmeye değer bir yaklaşım.

---

bana da bir arkadaşım anlatmıştı karşıma çıkan her soruda denedim her zaman doğru, fazla tesadüf gibi gelmedi bence mantıklı bi çıkarımı vardır diye düşünüyorum 

---

Olabilir.Ama bunun doğruluğunu ispatlamak gerekir. 

---

TÜREV NE OLUYOR?

Answer 1

$f(x)$ ve $g(x)$ türevlenebilir fonksiyonlar olsunlar. ${f(x)}^{g(x)}$ in türevini bulmak istiyoruz. 

${f(x)}^{g(x)}= e^{g(x) \ln({f(x)})}$ ve $g(x) \ln({f(x)})= h(x)$ diyelim. Problem $e^{h(x)}$ in türevini bulmaya döndü.

$(e^{h(x)})'=h'(x)e^{h(x)}$

             $=[g(x) \ln({f(x)})]'({f(x)}^{g(x)})=[g'(x) \ln(f(x))+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}]({f(x)}^{g(x)})$    ..........$(*)$

Son denklemde ${f(x)}^{g(x)}$ i içeriye dağıtalım.

$\Rightarrow$ $(*)=g'(x) \ln(f(x)){f(x)}^{g(x)}+g(x)f'(x){f(x)}^{g(x)-1}$

Toplamdaki birinci kısmı ve ikinci kısmı incelersen senin  yaptığın taraf tarafa toplama yöntemine denk gelir.( Fakat $a^x$ için dediğin kısımda $f'(x)$ terimi olmayacak.)