İkinci türev

Question

$F$ iki kere türevlenebilir ve ikinci türevi de sürekli olan tek değişkenli bir fonksiyon olsun. $$\lim_{h\longrightarrow 0}\frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}=F''(x)$$ eşitliği doğru mudur?

Answer 1

Türevin tanımından yararlanalım..

$\lim\limits_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=F'(x)$  ise

$F''(x)=\lim\limits_{h \to 0 }\frac{F'(x+h)-F'(x)}{h}$      olmalı.. (düzenleyelim)

             $=\lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{\lim\limits_{h \to 0}\frac{F(x+2h)-F(x+h)}{h}-\lim\limits_{h \to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}}{h} \right)$

             $=\lim\limits_{h \to 0}\left(\frac{F(x+2h)-F(x+h)}{h^2}-\frac{F(x+h)-F(x)}{h^2} \right)$

             $=\lim\limits_{h \to 0}\frac{F(x+2h)+F(x)-2F(x+h)}{h^2}$ olur. Bu ifade soruda verilen iifadeyle aynı anlamı taşır. $x$ yerine $x-h$ yazarsak;

$F''(x)=\lim\limits_{h \to 0}\frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}$

Answer 2

Kolayca görülür ki $\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F(x+h)+F(x-h)-2F(x)}{h^2}$ limitine  L'Hospital' in Kuralı uygulanabilir.

Birinci kez uygulandığında

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F'(x+h)-F'(x-h)}{2h}$ elde edilir. (ikinci türevin varlığı  varsayımından birinci türev süreklidir,  $\frac00$ belirsizliği vardır) Bir kez daha L'Hospital' in Kuralı uygulanabilir ve

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F''(x+h)+F''(x-h)}{2}$

 elde edilir.

İkinci Türevin sürekli olduğu varsayımından 

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\frac{F''(x+h)+F''(x-h)}{2}=\frac{F''(x)+F''(x)}2=F''(x)$

elde edilir.