Biraz daha başa dönelim ve soruda geçen kavramların tanımlarını da yazalım.
Tanım: A herhangi bir küme (boş (∅) da olabilir) ve β⊆A2 olmak üzere
Δ, A'da ikili işlem:⇔Δ∈Aβ
Δ, A'da kapalı ikili işlem:⇔Δ∈AA2
Not: Tanımda geçen gösterimler aşağıdaki gibi ele alınmaktadır.
Aβ:={Δ|Δ:β→A fonksiyon}
AA2:={Δ|Δ:A2→A fonksiyon}
Not: Birim eleman, ters eleman ve yutan eleman kavramları sadece kapalı işlemlerde söz konusu edilir. Tıpkı yansıma, simetri, ters simetri, geçişme kavramlarının sadece bir A kümesi üzerinde tanımlı bağıntılarda söz konusu edildiği gibi. Bilindiği üzere A'dan B'ye bağıntılarda (A×B kümesinin her altkümesine A'dan B'ye bağıntı diyoruz) bu saydığım özellikler söz konusu EDİLMEZ.
Tanım: A herhangi bir küme, Δ:A2→A fonksiyon (yani Δ, A'kapalı ikili işlem); e, Δ işleminin birim elemanı ve x∈A olmak üzere eğer
(∃y∈A)(xΔy=yΔx=e) önermesi doğru ise y elemanına x elemanının Δ işlemine göre tersi denir ve y=x−1 ile gösterilir. Şayet
(∀x∈A)(∃y∈A)(xΔy=yΔx=e) önermesi doğru ise Δ işlemine ters eleman özellikli işlem denir.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Bu bilgiler ışığı altında 1. sorunun cevabını verelim. x∈A olmak üzere
(∃y∈A)(xΔy=yΔx=e) önermesi doğru değilse yani
xΔy=yΔx=e olacak şekilde A kümesinde bir y elemanı yoksa bu durumda x elemanının Δ işlemine göre tersi yoktur denir.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Tanım: A herhangi bir küme, Δ:A2→A fonksiyon (yani Δ, A'kapalı ikili işlem) ve x∈A olmak üzere eğer
(∀y∈A)(xΔy=yΔx=x) önermesi doğru ise x elemanına Δ işleminin yutan elemanı denir.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Bu tanım da 2. sorunun cevabı oluyor artık.
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Tanımlardan bu iki kavramın farklı olduğunu görmek zor olmasa gerek. Bu durumda da 3. sorunun cevabını şöyle verebiliriz:
Tamsayılarda çarpma işlemini (yani ⋅:Z×Z→Z fonksiyonunu) ele alalım. Birimli bir işlemdir ve birim eleman 1 tamsayısıdır. 2 tamsayısının tersi yoktur (Neden?) fakat yutan eleman değildir (Neden?). Nedenlerini okuyucular düşünsün.