Bir analizci daha iyisini yazabilir ama ben bir giriş yapayım. Soyut olarak (tanımına bakarak değil özelliklerinden geri giderek) , integral (genellikle topolojik) bir "uzay" daki (gerçel değerli) fonksiyonlar vektör uzayının (çoğu zaman sürekli fonksiyonlar alt uzayını içeren) bir alt vektör uzayında tanımlı, pozitif (Her $x$ için $f(x)\geq0$ ise $I(f)\geq0$) bir fonksiyoneldir ($\mathbb{R}$ ye bir lineer dönüşümdür) . Böyle bir fonksiyonelin her (pozitif ) katı da aynı özellikte olacağı için, tek olması isteniyorsa, normalleştirme koşulu (seçilmiş fonksiyonda özel değerler alması gibi) ve belki başka koşullar da eklenir. Pozitiflik, (fonksiyonun mutlak değerinin integrali alınarak) çoğu zaman, vektör uzayında bir norm tanımlamakta işe yarar.
Riemann integrali için: vektör uzayı, $\mathbb{R}$ deki tıkız dayanaklı (compact support) , sınırlı ve süreksizlik kümesinin ölçümü 0 olan fonksiyonların vektör uzayıdır.
Benzer şekilde iki katlı (Riemann) integrali $\mathbb{R}^2$ nin benzer altkümelerinde tanımlı benzer koşulları sağlayan fonksiyonlarda tanımlı olur (bundan tam emin değilim aslında ama öyleyse iyi olur)
Tıkız topolojik gruplardaki Haar integrali böyledir (bir de değişmezlik özelliği var)
Eğrisel integral biraz farklıdır.
Bazan biraz farklı da integral de olabiliyor. Diferansiyel geometride, diferansiyel formların simplekslerin zincirleri üzerinde integrali buna tam uymuyor, (eğrisel integral gibi integrallerin daha genel şeklidir) . Manifoldlarda de Rham kohomolojisi tanımlamakta kulanılıyor.