$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=+\infty$ veya $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\infty$ ise $f$, $a$ da bir (yerel) maksimum veya minimuma erişebilir mi?

Question

Eğer erişiyor ise bir örneği erişmiyor ise bir ispatı olmalı.

Comments

$\frac{0}{0}=\infty$ olabiliyor muydu?

---

$\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x}{x^3}=+\infty$

---

Sağolun hocam. 12. sınıf olduğumdan arada karışabiliyor :)

---

Verilen koşulları sağlayan bir $f$ var mı? Yani hem $f'(a)=\infty$ hem de $f'(a)=-\infty$ olan.

---

arada "veya" var

---

$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)=\pm \infty$ diyorsak ve ekstremum noktasi olmasi icin $f'(a)=0$ olmasi gerekiyorsa, $a$ noktasi bir ekstremum noktasi olabilir mi?

---

"ekstremum noktasi olmasi icin $f'(a)=0$ olmasi gerekiyor.." iddiasının

(benim gördüğüm çoğu lisans düzeyi kitapdaki)  ispatlarında 

$f$ nin $a$ da " türevlenebildiği (yani, $f'(a)$ nın bir sayıya eşit olduğu) varsayılıyor. 

Benim sorduğum durum $f$ nin $a$ da türevlenemediği bir durum. Örneğin $f(x)=\sqrt[3]x,\ a=0$ durumu.

---

Sayın DoganDonmez hocam. İki önerme "veya"  bağlacı ile bağlı olduğunda bileşik önermenin doğruluk değeri; her iki önerme de doğru iken doğru değil midir? Böyle bakılınca benim yorumum doğru değil mi?

---

Sayın Metok

$\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=+\infty$ veya $\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\infty$ durumlarında, ben, $f$nin $a$ da türevlenemiyor (türevi yoktur) olarak tanımlanması gerektiğini düşünüyorum, siz herhalde farklı düşünüyorsunuz. Farklılık burada sanırım. Sizin kabulunüze göre, sizin yorumunuz doğru olur.

Böyle düşünmemin nedeni; bu iki durumda 

• $f,\ a$ da sürekli olmayabilir.
  
• $f$ nin grafiğinin $a$ noktasında teğeti var olmayabilir.

Answer 1

Erişemez. İspatı, türevin var ve sıfırdan farklı olması durumunda yerel maksimum veya minimum olamayacağının (iç ekstremum teoremi) ispatının neredeyse aynısı.

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=+\infty$ olsun. (limitin $+\infty$ olması tanımından) $0<|x-a|<\delta$ iken $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$ olacak şekilde bir $\delta>0$ sayısı vardır. $a$ yı içeren herhangi bir $I$ açık aralığı verilsin.  $x_1\in I,\ a<x_1<a+\delta$ olacak şekilde bir $x_1$ alalım. $\frac{f(x_1)-f(a)}{x_1-a}>0$ oluşundan, $f(x_1)>f(a)$ elde edilir. 

$x_2\in I,\ a-\delta<x_2<a$ olacak şekilde bir $x_2$ alalım. $\frac{f(x_2)-f(a)}{x_2-a}>0$ oluşundan, $f(x_2)<f(a)$ elde edilir. Bu da, $f$ nin $a$ noktasında, $I$ daki maksimum veya minimum değerine erişmediğini gösterir. Yani $f,\ a$ da bir yerel maksimum veya minimuma erişmez.

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=-\infty$ durumu da hemen hemen aynıdır (veya $-f$ ye bu ispat uygunlanır.)