$y^2=x^3-x$ eliptik egrisinin nokta sayisi

Question

$p \equiv 3 \mod 4$ olmak uzere asal bir sayidir. $y^2=x^3-x$ eliptik egrisinin $\mathbb{F}_p$ uzerinde $p+1$ tane noktasi vardir.

Answer 1

ilk olarak $p \equiv 3 \mod 4$ oldugundan $\frac {p-1}2$ tek bir sayidir. O halde $(x^3-x)^{\frac{p-1}2}$ polinomununda $x^{p-1}$'in katsayisi $0$ oldugundan egri "supersingular"dir. Yani $p \geq 5$ icin $p+1$ tane nokta olmasi durumunda. Geriye $p=3$ secenegi kaliyor, onda da uzerinde $4=3+1$ adet nokta vardir.