Eliptik egrilerin fonksiyon cismindeki bolenler

Question

$E$ eliptik egrisi $y^2=x^3+2$ olarak $\mathbb{F}_7$ uzerinde tanimli olsun. $S=(0,3)$ noktasi olsun. $f(x,y,z)=y-3z$ olarak $K(E)$ fonksiyon cisminde tanimli olsun. $$div(f/z)=3S-3O$$
oldugunu gosteriniz.

$div$ = divisor, bolen
$O=(0:1:0)$

Answer 1

$y^2z=x^3+2z^3$ egrisi $y-3z=0$ dogrusu ile sadece $(0:3:1)$ noktasinda kesisir:
ispat:
$y=3z \implies 9z^3=x^3+2z^3 \implies 0=7z^3=x^3 \implies x=0$ 

$y^2z=x^3+2z^3$ egrisi $z=0$ dogrusu ile sadece $(0:1:0)$ noktasinda kesisir:
ispat:
$z=0 \implies x^3=0 \implies x=0$

O halde $div(f/z)=div(f)-div(z)=3S-3O$

Ek bilgi: $3$ katsayisi neden geldi. Cunku elliptik egrilerde bir dogru $3$ noktayi (katsayilariyla beraber) keser. Hesaplamalarda dogrularimiz sadece bir noktayi kestiginden katsayisi $3$ olmak durumunda.