Eliptik izomorfizmasinin indirgenmis hali

Question

$K$ cebirsel kapali bir cisim olsun. $E_1$ ve $E_2$ kisa Weierstrass formunda iki adet eliptik egri olsun. Eger $\alpha: E_1 \rightarrow E_2$ sifir olmayan bir "isogeny" ise $$\alpha(x,y)=(r(x),s(x)y)$$ seklinde yazilabilir, $r(x),s(x) \in K(x)$ olmak uzere..

isogeny: orten bir donusum (morphism) ve cekirdegi (kernel) sonlu

Answer 1

Oncelikle $K(E)$ fonksiyon cisminden $R(x,y)$ alalim. $$R(x,y)=\frac{a(x)+b(x)y}{c(x)+d(x)y}$$ seklinde yazabiliriz.

Kisa Weierstrass formundan dolayi $y^2$'yi $x^3+Ax+B$ ile degistirebiliriz. O halde pay ve paydayi $c(x)-d(x)$ ile carpip, $y^2=x^3+Ax+B$'yi kullanirsak $$R(x,y)=\frac{p_1(x)+p_2(x)y}{p_3(x)} \: \: (1)$$ elde ederiz.

Endomorfizmamiz $$\alpha(x,y)=(R_1(x,y),R_2(x,y))$$ olsun. "Isogeny"den dolayi $$R_1(x,-y)=R_1(x,y)$$ ve $$R_2(x,-y)=-R_2(x,y)$$. Bu esitlikleri $(1)$'e uyguladigimizda goruruz ki $$\alpha(x,y)=(r(x),s(x)y)$$ seklinde yazilabilir, oyle ki $r(x), s(x) \in K(E)$.