Karmaşık Analiz

Question

1-) $e^{2z}+e^{z}+1=0$

2-) $e^{\dfrac {1} {z}}=-1$

3-) $e^{z-1}=-ie^3$

Denklemini sağlayan karmaşık sayı değerlerini bulunuz.

Konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Soruları biraz detaylı çözerseniz sevinirim. Şimdiden teşekkürler :)

Answer 1

1) $e^z=u$ dersek $u^2+u+1=0$ gelir.

2) $e^{\pi i}=-1$ o halde $\frac{1}{z}=i\pi+2k\pi$ olmali, $k$ tam sayi

3) $e^{z-2}=-i$ ve $-i=e^{\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$

Comments

Öncelikle cevaplar için teşekkürler :) Yalnız işlemleri biraz detaylandırsanız sevinirim anlamam açısından.

---

bunlari anlaman acisindan yazdim, gerisi de biraz calisma. Takildigin yer olursa sorabilirsin. ama bi bu yontemlerle cozmeyi dene..

---

Bir uğraşayım o zaman :)

---

ikinci ve üçüncü şıklar için açıklama. $e^s$ için kosünüslü sinüslü bir açılım var. 

---

Hocam çözümleri buldum acaba cevaplarını yazabilir misiniz karşılaştırmam açısından?

---

sen yazarsan ben okurum :)

---

3-) $z=4+i\left( -\dfrac {1} {2}+1kx\right)$

2-) $\dfrac {1} {z}=i\left( \pi +2k\pi \right)$ burda z'yi üste atınca nasıl düzenleyeceğiz ifadeyi onu bulamadım.

1-) $z=\ln 2+i\left( \dfrac {4\pi } {3}+2kn\right)$

    $z=\ln 2+i\left( \dfrac {5\pi } {6}+2k\pi \right)$

Buyrun Hocam :)

---

2) paydanin eslenigi ile carpacaksin..
3) icin sadece ustleri esitleyecektin. $2+3\pi/2+2k\pi$. Galiba soruyu degistirmissin, o zaman $4+3\pi/2+2k\pi$

1) de $u^2+u+1$'in cozumu $e^{2\pi/3},e^{5\pi/3}$.. diger asamaya gecerken $e^{2\pi/3}+2k\pi, e^{5\pi/3}+2k\pi$..

---

Hocam 2'de 2kpi k sabit onun eşleniğini nasıl alcaz?

---

$2k\pi+i\pi \rightarrow 2k\pi - i \pi$

---

k orda değişen bir sayı hocam :) k nın karesi alıyoz orda. Değer değişmez mi?

Birde diğer sorularda biz karmaşık analiz görürken hocam öyle göstermedi. ln'nini alıyoz her iki tarafın. Ordan bir elementar fonksiyon kuralı var. Ordan öyle çıkarıyoz. Benim yaptığımda doğru değil mi hocam?

---

$a+bi$ yazdigimizda $a,b$ de degisken ama eslenigine $a-bi$ diyoruz.

---

Hocam diğer sorularda benim cevaplarım doğru mu peki?

---

geriye $3$ kaliyor, onda da cevaplarimiz farkli zaten.araya bir de $x$ koymussun?

---

Hocam ben fazladan oraya ln yazdım. O gereksiz mi?

---

Reel sayilarda: $2^x=2^y$ ise $x=y$ deriz ama $e^x=a$ ise $x=\ln a$ deriz..

$e^{i\theta_1}=e^{i\theta_2}$ ise $\theta_2-\theta_1=2k\pi$'dir.

---

yani benim oraya ln i koymam doğru mu?

---

evet..              

---

$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$

---

Hocam bakın bendeki formülde şu: $\ln z=(log_{e}\left| z\right| +i\arg \left( z\right)$ yani $\ln r+i\arg \left( z\right)$

---

Bu soru lise sorusu mu universite sorusu mu?

---

Üniversite sorusudur.

---

O zaman bu iki formulun birbirine esit mi yoksa formullerden birisi yanlis mi bulmak soruyu cozenin gorevi. Hatta o formuller neden var, nereden gelmisler, ispatlamak da.

---

Tabii lise sorusu olsaydi. liseli arkadaslarin da ayni seyi yapmaya calismalari dogrusu. Ama universiteli icin dogrudan ziyade mecburiyet.

---

özelden mesaj attım bakarmısınız?

---

Hangi formulleri?

---

Biraz yukarda hocam. Araya baya yazışma girdi.

$\ln z=(log_{e}\left| z\right| +i\arg \left( z\right)$ yani $\ln r+i\arg \left( z\right)$

---

Daha önceden bununla ilgili bir soru çözmüştüm. Sitede mevcut da, soru neydi, nerdedir bilmiyorum.

---

http://matkafasi.com/4579/%24-frac1-ln-i-1-%24-kactir?show=4579#q4579