Question

$R$ yerel bir halkaysa her $r \in R$ icin ya $r$ ya da $1-r$ tersinirdir.

Answer 1

Ikisi de birim olmasa ikisi de tek maksimal idealin icine duser. Bu durumda $r+(1-r)=1$ de bu maksimal idealin icinde olmak durumunda olur. Celiski.

Answer 2

Ali Nesin ' in cebir kitabında (İngilizce ) : (matematikkoyu.org/e-kutuphane/ders-notlari/AlgebraLectureNotes.pdf)

Lemma 12.1.1 Bir halkanın yerel olması için gerek ve yeter koşul tersinir olmayan elemalarının bir ideal oluşturmasıdır.

(Burada gereken yönünü ispatı. Yerel halkanın tanımında değişmeli ve birim elemanlı olma koşulu var)
$R$ bir yerel halka olsun. $M$ biricik maksimal ideali olsun. $R$ de tersinir olmayan her elemanı içeren bir maksimal ideal olacağı için (Burada, Zorn un Lemmasına gereksinim var) tersinir olmayan her eleman $M$ ye ait olur. (Karşı yönün ispatı daha kolay)

İddia, bu lemmayı kullanarak, hemen ispatlanabilir: hem $r$ hem de $1-r$, $M$ de olsaydı $1\in M$ de olurdu. Çelişki.

Comments

Burada lemma nerede kullanılıyor hocam? "Yerel halkaysa biricik maksimal ideal vardır" ve "her halkada tersinir olmayan her eleman bir maksimal ideal içinde bulunur" savlarıl kullanılmıyor mu yalnızca.

Answer 3

$R$ yerel halka olsun. $U(R)$ halkadaki çarpımsal tersinir elemanların Kümesi ve $J(R)$ halkanın Jacobson radikalini göstermek üzere $R=U(R)\cup J(R)$ şeklindedir. Dolayısıyla $r\in R$ için $r$ ya tersinirdir yada $J(R)$ ye aittir. Yani $1-r\in U(R) $ olur.

Comments

Bu cikarimi nasil yaptiniz?

---

$R$ yerel olduğundan bir tek sağ(sol) maksimal ideali vardır. $a\notin U(R)$ olsun. Bu durumda $a$'yı içeren bir maksimal ideal vardır. Tek maksimal olduğundan $a\in J(R)$ bulunur. Tersine $R=U(R)\cup J(R)$ olsun ve $R$ de en az iki maksimal ideal mevcut olsun. Bunlara $M, N$ diyelim ve $M\neq N$. Buradan $M\subseteq M+N=R$ olur ($M$ maksimal olduğundan). $1=m+n$ olacak şekilde $m\in M$ ve $n\in N$ vardır. $m\in R$ olduğundan eğer $m\in U(R)$ ise $M=R$ olur ki çelişki. Eğer $m\in J(R)$ ise $1-m\in U(R)$ olur ki; $N=R$ olur yine çelişkidir.

---

$RaR$ ile $1+M$ arasinda nasil bir iliski kurduk? $RaR$'nin nerede kullanildigini anlamadim.

---

Halkanın birimli olması gerekiyor.